Diferenciales

Interpretacion geometrica de la diferencialSi en la grafica de una funcion f(x) se traza una tangente a la funcion en el punto P(x,f(x)), x sufre un incrmento en Ax , lo que genera un punto Q(x+Ax, f(x+Ax)) , la geometria de la figura , describe al triangulo PRT, y al angulo O, aplicando los principios de trigonometria se tiene que tg O = dy/dx pero sabemos que m=tg O m= dy/dxpero ademas la m=f'(x) finalmente f'(x)=dy/dx si de aqui despejamos a dy dy=f'(x) dx Entonces la diferencial de una funcion es la derivada de la funcion por el incremento de xEjemplo 1, Sea la funcion f(x) = 3x^2 +4x-1 , encontrar su diferencial para x=2 y Ax=0.002 Solucion: derivando la funcion f'(x) = 6x+4 evaluamos la derivada , encontrada en x=2 f'(2) = 6(2)+4 = 12+4= 16por lo que la difrencial es, dy=f'(x) dx = 16(0.002) = 0.032 Ejemplo 2: calcular el incremento del volumen de un cubo, si sus lados miden 10 cm, y sufren un incremento del .001 cmsolucion: sea volumen del cubo igual v=l^3 y el incremento del lado es Al=0.001 entonces la funcion sera f(l) = l^3 derivamos f'(l) = 3l^2 evaluamos con l=10 f'(10)= 3(10)^2 = 3(100) = 300el incremento de volumen es: dv=f'(l)dl = (300) (0.001) = 0.3 cm^3