Límite de una función

Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.1 Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos. Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe: lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}\,\,f(x)=L} si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente: "El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades". Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta: lim x → c f ( x ) = L ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / 0 < | x − c | < δ ⟶ | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0/0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}} Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si: lim n → ∞ x n = c ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = f ( c ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)}