Diagonalización de operadores lineales

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• DIAGONALIZACIÓN DE UN OPERADOR LINEAL 

• Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial finito V. Decimos que T es diagonalizable si existe una base B de V tal que [T]_B es diagonal.

• Operador lineal diagonalizable

• Eigenvalor de un operador lineal

•    Sea T un operador lineal sobre un F-espacio vectorial finito V. Decimos que λ∈F es un eigenvalor de T si existe v∈V, v≠0 tal que T(v)=λv.

• Eigenvector de un operador lineal

• Sea T un operador lineal sobre un F-espacio vectorial finito V. Decimos que v∈V, v≠0 es un eigenvector de T si existe λ∈F tal que T(v)=λv.

• Si v es un eigenvector de T, entonces αv es un eigenvector de T para todo α∈F, α≠0.

• Observaciones

• Definiciones

• Si v_1, ..., v_n   son eigenvectores de , entonces span{v_1, ..., v_n}=W es un subespacio T-invariante de V.

• Si λ~v por T, entonces v∈ker(T-λI).

• Teoremas

• Sea T un operador lineal sobre un F-espacio vectorial finito V, con dim V=n.

• T es diagonalizable

• Existe una base B formada por eigenvectores de T.

• Polinomio característico de un operador lineal

• Sea T un operador lineal sobre un F-espacio vectorial finito V, y sea A una matriz asociada a T (en términos de cualquier base de V). Definimos el polinomio característico de T, denotado por P_T(x), como P_T(x):=det(xI-A).

• El escalar λ∈F es eigenvector de T

• P_T(λ)=0

• Un vector x∈V es eigenvector de T asociado a λ

• x≠0 y x∈ker(T-λI)

• Sea T(x)=L_A(x)=Ax operador asociado a la matriz A de nxn con entradas en F tal que A=[L_A]_B, con B base canónica de F^n.

•  L_A es diagonalizable

• A es diagonalizable

• A es similar a una matriz diagonal

• Si x_1, ..., x_k son eigenvectores de T tales que λ_j ~ x_j (1≤j≤k) 

• {x_1, ..., x_k} es linealmente independiente

• Sean λ_1, ..., λ_k eigenvalores de T diferentes

• Si x_1, ..., x_k son eigenvectores de T tales que x_j ~ λ_j (1≤j≤k)

• {x_1, ..., x_k} es linealmente independiente

• Corolario

• Si T tiene n eigenvalores distintos

• P_T(x) se puede descomponer como el producto de factores lineales, es decir:

• Eigenespacio 

• Sea T un operador lineal sobre un F-espacio vectorial V. Definimos el eigenespacio T asociado a λ, donde λ es un eigenvalor de T y denotado por E_λ, como sigue   E_λ:=ker(T-λI).

• Multiplicidad algebraica de un eigenvalor

• Sea λ un eigenvalor de un operador lineal o de una matriz cuyo polinomio característico es P_T(x). La multiplicidad algebraica de λ es el mayor entero positivo k para el que (x-λ)^k es factor de P_T(x).

• Si m es la multiplicidad algebraica de λ

• 1≤dim E_λ≤m

• Sean v_j∈E_λ_j  para todo 1≤j≤k

• v_1+v_2+...+v_k=0

• v_1=v_2=...=v_k=0

• Corolario

• El subespacio generado por todos los eigenvectores de T es la suma directa de todos  los eigenespacios.

• Suma directa de subespacios 

• Sean w_1, ..., w_k subespacios de un espacio vectorial V. Escribimos V=w_1⊕...⊕w_k y llamaremos a V la suma directa de w_1, ..., w_k si:

• Pol Car (binary/octet-stream)

• Sumadirecta (binary/octet-stream)

• Para todo i=1,...,k, dim E_λ_i=m_i

• El espacio V es   

• Vsumdir (binary/octet-stream)

• Para todo i=1, ..., k rank(T-λI)=n-m_i