Física/Cinemática

Flussdiagrammknoten

• cinematica

• Conceptos

• Velocidad y aceleración vectorial

• Rapidez y aceleración

• Movimiento circular

• Modelo físico: Para estudiar la realidad, los físicos se sirven de 'modelos' que, con cierta aproximación y en determinadas condiciones, corresponden con ella. Se usan para realizar cálculos teóricos. Punto: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de volumen despreciable (se considerará sin volumen) situado en el espacio (en 3D. Busca 'espacio euclidiano' para más detalles).Posición: Llamamos posición de un punto a su localización con respecto a un sistema de referencia (lo que en física se llama 'observador').Sistema de referencia: Es aquel sistema coordenado con respecto al cual se da la posición de los puntos y el tiempo (a determinadas velocidades el tiempo cambia, buscad la paradoja de los gemelos).Tiempo: Por nuestro lenguaje parece complicado de definir. Los griegos dieron una solución que, por ahora, nos puede valer.Partícula puntual: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de tamaño diferencial (muy pequeño) y masa concentrada en su posición.Sólido rígido o, simplemente, sólido: Es otro modelo físico. Puede definirse de varias formas. 

• Diariamente escuchamos los conceptos de rapidez y aceleración como velocidad y aceleración solamente. Pero en física la velocidad y la aceleración son vectores, por lo que es claro y necesario su diferenciación y entendimiento. De aquí en adelante (más por costumbre que por ganas) llamaremos tanto a la rapidez y a la aceleración solamente como velocidad y aceleración (a menos que se especifique lo contrario).Si cubre una masa puntual en un punto P en un tiempo ΔSe observa que Δs aquí no es el desplazamiento, sino la longitud de arco: es el camino recorrido.La llamamos velocidad media porque la masa puntual no se mueve por el trayecto uniforme trazado. O sea estamos tomando sólo los puntos final e inicial para hacer los cálculos.Hagamos el trayecto como Δs (de manera diferencial, o sea infinitesimal), al igual que al intervalo de tiempo Δt. Para Δs cercano a cero (o Δt cercano a cero, que tienda a cero) el cociente Δs/Δt como valor al límite, nos da la velocidad v de la masa puntual en el punto P, así:En el análisis se puede calcular ese valor al límite también como ds/dt. Así:Tomemos luego una masa puntual que tiene en el punto P y en el tiempo t la velocidad v; y en el tiempo t + Δt y la velocidad v + Δv. Podemos calcular el cociente Δv/Δt como la aceleración media am de la masa puntual en el intervalo de tiempo Δt:Para Δt cercano a cero se aspira a que ese cociente tenga un valor límite, la aceleracion a de la masa puntual para el tiempo t.Para ese valor límite, se puede simplificar:Es el camino s descrito como una función analítica del tiempo t, así s=s(t), así es la función de velocidad v(t) la primera derivada de la función s(t) con respecto al tiempo, la función de aceleración a(t) es la segunda derivada. La derivación con respecto al tiempo se puede también escribir como un punto sobre las variables.En sentido contrario se puede encontrar la función de velocidad y la función de la trayectoria a través de la integración:En las integrales indefinidas de debe aumentar una constante que puede ser conocida con las condiciones iniciales del problema.Ejemplo: En caida libre una masa puntual se encuentra con una aceleración constante g. Esto es, cuando el tiempo t=0 verticalmente de arriba hacia abajo, tiene la velocidad v0y sus coordenadas s0:t el tramo Δs, se llamara al cociente Δs / Δt su velocidad media vm en el intervalo de tiempo Δt o en el tramo Δs.{\displaystyle v_{m}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}{\displaystyle v=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}\equiv \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}{\displaystyle v={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}\,.}{\displaystyle a_{m}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}.}{\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}.}{\displaystyle a={\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}.}{\displaystyle v(t)={\frac {\operatorname {d} s(t)}{\operatorname {d} t}}={\dot {s}}(t);\quad \quad a(t)={\frac {\operatorname {d} v(t)}{\operatorname {d} t}}={\dot {v}}(t)={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}\equiv {\ddot {s}}(t).}{\displaystyle v(t)=\int {a(t)\,\operatorname {d} t;\quad s(t)=\int {v(t)\,\operatorname {d} t=\iint {a(t)\,\operatorname {d} t\,\operatorname {d} t.}}}}

• Velocidad[editar] Vamos a ver ahora a una partícula, que atraviesa un espacio en una curva. Para el tiempo t se halla en P, para el tiempo t + Δt en Q. El lugar del punto esta descrito por su vector posición 'r'. Esta es una función de t y esta descrita por una función vectorial 'r'(t).Asi:{\displaystyle {\overrightarrow {r}}(t)=x\,{\overrightarrow {i}}+y\,{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}}y{\displaystyle {\overrightarrow {r}}(t+\Delta t)=\left({x+\Delta x}\right){\overrightarrow {i}}+\left({y+\Delta y}\right){\overrightarrow {j}}+\left({z+\Delta z}\right){\overrightarrow {k}}\,,}donde i, j y k son los vectores unitarios de los ejes de cordenadas.El desplazamiento de la partícula en un determinado intervalo de tiempo es:{\displaystyle \Delta {\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}\left({t+\Delta t}\right)-{\overrightarrow {r}}\left(t\right)=\Delta x\,{\overrightarrow {i}}+\Delta y\,{\overrightarrow {j}}+\Delta z\,{\overrightarrow {k}}\,.}El cociente Δr/Δt es la velocidad media (vectorial) vm de la partícula en el intervalo de tiempo Δt. Es{\displaystyle {\frac {\Delta {\overrightarrow {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\overrightarrow {k}}\,.}Aqui es (mirar arriba: rapidez y aceleración) Δx/Δt la rapidez media de la partícula paralela al eje X, Δy/Δt la rapidez media paralela al eje Y y Δz/Δt la rapidez media paralela al eje Z en un intervalo Δt.El vector resultante, del cociente Δr/Δt para Δt cercano a cero, se llama velocidad vP = v'(t) de la particula en P o en el tiempo t.{\displaystyle {\overrightarrow {v}}_{P}={\overrightarrow {v}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\overrightarrow {r}}}{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {k}}\,.}La función vectorial v'(t) es la primera derivada de la función de posición r(t) en el tiempo.{\displaystyle {\overrightarrow {v}}(t)={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}={\dot {\vec {r}}}}Como se ve, son las componentes escalares del vector v(t) identicos con la velocidad instantanea paralela a los ejes:{\displaystyle v_{x}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}},\quad v_{y}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}},\quad v_{z}={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}\,.}El recta en el punto P en la direccion del vector vP se llama La Tangente a la curva en P  Aceleración[editar] Análogamente vamos ahora a definir la función vectorial de la aceleración:{\displaystyle {\overrightarrow {a}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\overrightarrow {v}}}{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {v}}}{\operatorname {d} t}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {r}}}\,.}La función vectorial de la aceleración proviene de las componentes escalares de la función velocidad y de la función posición, así:{\displaystyle {\overrightarrow {a}}(t)={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left({v_{x}{\overrightarrow {i}}+v_{y}{\overrightarrow {j}}+v_{z}{\overrightarrow {k}}}\right)={\frac {\operatorname {d} v_{x}}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} v_{y}}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} v_{z}}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {k}}\,,}{\displaystyle {\overrightarrow {a}}(t)={\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {k\,.}}}Como se conoce, son las componentes escalares del vector velocidad igual a la dirección de la velocidad instantánea en los ejes de coordenadas.En sentido contrario se puede hallar por integración las correspondientes funciones.Ejemplo: Para la caída libre con velocidad inicial v0 de un punto con el vector posición r0 (vertical o lanzamiento curvo).Cuando el eje Z (vector unitario k) esta dirigido verticalmente hacia abajo, es{\displaystyle {\overrightarrow {a}}=-g{\overrightarrow {k}}\,,\quad {\overrightarrow {v}}=-\int {g{\overrightarrow {k}}\,\operatorname {d} t=-g\,t}{\overrightarrow {k}}+{\overrightarrow {v}}_{0},}{\displaystyle {\overrightarrow {r}}=\int {\left({-g\,t{\overrightarrow {k}}+{\overrightarrow {v}}_{0}}\right)\operatorname {d} t=-{\frac {g}{2}}t^{2}{\overrightarrow {k}}+{\overrightarrow {v}}_{0}\,t}+{\overrightarrow {r}}_{0\,.}}Mientras el vector velocidad siempre tiene dirección tangencial, puede estar dirigido opcionalmente el vector aceleración. En un análisis profundo, la aceleración se descompone en dos componentes, en la una dirección es tangencial (aceleración tangencial) y la otra esta en dirección vertical (aceleración normal).La aceleración tangencial cambia solo el valor de la velocidad (esta es la rapidez)Para esta descomposición de los vectores de la aceleración introducimos la curva s, este es el largo de la trayectoria, que recorre la partícula en la curva. Este arco cuenta con un punto cero escogido, que de todas formas aquí no juega ningún papel, aquí solo necesitamos el diferencial ds del arco. Además introducimos el vector unitario tangencial t y hacemos uso de la geometría diferencial. El vector unitario tangente t es el vector{\displaystyle {\overrightarrow {t}}={\frac {\overrightarrow {v}}{v}}\,,}así denominado, es igual al vector v dividido para su módulo v. Este módulo es igual a la rapidez y es otra vez el desplazamiento sobre la curva sobre el tiempo. Asi es:{\displaystyle {\overrightarrow {v}}=v\,{\overrightarrow {t}}={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {t}}\,.}Si diferenciamos para el tiempo tenemos que{\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {t}}+{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {t}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {t}}+{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {t}}}{\operatorname {d} s}}{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {t}}+v^{2}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {t}}}{\operatorname {d} s}}\,.}Aqui la longitud del vector unitario tangencial t es constante (cercano a 1), esta el vector desplazamiento dt/ds - cuando no es igual a cero - verticalmente hacia t.De la geometría diferencial tenemos, que el vector desplazamiento dt/ds tiene la dirección del vector unitario normal n y el valor k = 1/ρ De aquí es k la curvatura de la curva en el punto observado y ρ su radio de curvatura. El vector unitario normal n es dirigido hacia (momentaneamente) un punto medio de la curvatura (hacia dentro).Siguiendo esto{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {t}}}{\operatorname {d} s}}=k{\overrightarrow {n}}={\frac {1}{\rho }}{\overrightarrow {n}}\,.}Con esto nos da como resultado{\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {t}}+{\frac {v^{2}}{\rho }}{\overrightarrow {n}}\,.}El vector a esta entre t y n' dirigido, en el plano de la curva en un determinado punto.El modulo de la aceleración tangencial es - como se esperaba:{\displaystyle a_{tan}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}\,,}el modulo de la aceleración normal es{\displaystyle a_{nor}={\frac {v^{2}}{\rho }}.}Este par de ecuaciones tienen su interpretación: La aceleración de una partícula da lugar a la aparición de una fuerza. La dirección de esa fuerza determina la dirección de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración causa un cambio en la velocidad, la componente normal de la aceleración causa la curvatura de la curva. El radio de curvatura de la curva en un determinado punto resulta de la aceleración normal y de la velocidad así:

• Velocidad[editar]Vamos a ver ahora a una partícula, que atraviesa un espacio en una curva. Para el tiempo t se halla en P, para el tiempo t + Δt en Q. El lugar del punto esta descrito por su vector posición 'r'. Esta es una función de t y esta descrita por una función vectorial 'r'(t).Asi:ydonde i, j y k son los vectores unitarios de los ejes de cordenadas.El desplazamiento de la partícula en un determinado intervalo de tiempo es:El cociente Δr/Δt es la velocidad media (vectorial) vm de la partícula en el intervalo de tiempo Δt. EsAqui es (mirar arriba: rapidez y aceleración) Δx/Δt la rapidez media de la partícula paralela al eje X, Δy/Δt la rapidez media paralela al eje Y y Δz/Δt la rapidez media paralela al eje Z en un intervalo Δt.El vector resultante, del cociente Δr/Δt para Δt cercano a cero, se llama velocidad vP = v'(t) de la particula en P o en el tiempo t.La función vectorial v'(t) es la primera derivada de la función de posición r(t) en el tiempo.Como se ve, son las componentes escalares del vector v(t) identicos con la velocidad instantanea paralela a los ejes:El recta en el punto P en la direccion del vector vP se llama La Tangente a la curva en P {\displaystyle {\overrightarrow {r}}(t)=x\,{\overrightarrow {i}}+y\,{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}}{\displaystyle {\overrightarrow {r}}(t+\Delta t)=\left({x+\Delta x}\right){\overrightarrow {i}}+\left({y+\Delta y}\right){\overrightarrow {j}}+\left({z+\Delta z}\right){\overrightarrow {k}}\,,}{\displaystyle \Delta {\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}\left({t+\Delta t}\right)-{\overrightarrow {r}}\left(t\right)=\Delta x\,{\overrightarrow {i}}+\Delta y\,{\overrightarrow {j}}+\Delta z\,{\overrightarrow {k}}\,.}{\displaystyle {\frac {\Delta {\overrightarrow {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\overrightarrow {k}}\,.}{\displaystyle {\overrightarrow {v}}_{P}={\overrightarrow {v}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\overrightarrow {r}}}{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {k}}\,.}{\displaystyle {\overrightarrow {v}}(t)={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}={\dot {\vec {r}}}}{\displaystyle v_{x}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}},\quad v_{y}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}},\quad v_{z}={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}\,.}