Ley de composición externa

Ley de composición externa

1. En símbolos

   • es ley externa en A con operadores en B ⇔ Bx A → A es decir, si b B ∈ y a A ∈ la imagen del par (b ; a) = b ∗ a ∈ A
     • Según las propiedades que deban satisfacer estas leyes de composición, se tienen los distintos tipos de estructuras ó sistemas axiomáticos.
       • Monoide
         • El par (A , ∗ ) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición interna ∗ se denomina monoide.
           • Ejemplos de monoides
             • ( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoides. ( N , - ) no es un monoide porque la sustracción no es ley de composición interna en N. ( N , ∗ ) donde ∗ está definido como a ∗ b = máx.{a , b} es un monoide.
       • Semigrupo
         • Un monoide asociativo se denomina semigrupo.
           • Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo. Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad. El elemento neutro de llama identidad.
             • Ejemplos de semigrupos ( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro. ( N 0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0. ( N , • ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad igual a 1.
       • Grupo
         • Sea el par (A , ∗ ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria
           • (A , ∗ ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí: a) ∗ es asociativa. Es decir a ∀ , b ∀ , c ∀ : a, b, c ∈ A ⇒ ( ) ( ) a b c a b c ∗ ∗ = ∗ ∗ b) ∗ posee elemento neutro en A. Es decir e A ∃ ∈ / a ∀ , si a A ∈ ⇒ a e e a a ∗ = ∗ = c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de ∗ . Es decir a A ∀ ∈ , a ´ A ∃ ∈ / a a ´ a ´ a e
       • Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo
         • es cuando además de ser un grupo, d) ∗ es conmutativa. Es decir a ∀ , b ∀ : a, b ∈ A a b b a ⇒ ∗ = ∗ Si G = (A , ∗ ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo.
           • Ejemplos 1) El par ( Z , ∗ ) donde Z es el conjunto de los números enteros y ∗ es una operación definida como a ∗ b = a + b + 3 forma un grupo abeliano. Comprobación: ∗ es una ley de composición interna en Z pues si a y b ∈ Z , a + b + 3 ∈ Z ∗ es asociativa pues ( ) a b c ∗ ∗ = (a + b +3) ∗ c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6 y ( ) a b c ∗ ∗ = a ∗ (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6 ∗ tiene elemento neutro e = –3 , pues a A ∀ ∈ , a ∗ e = a entonces a + e +3 = a ⇒ e = –3 y e ∗ a = a entonces e + a + 3 = a ⇒ e = –3 tiene inverso a , a / a a e ′ ′ ∀ ∃ ∗ = , en nuestro caso a a′ ∗ = –3 ⇒ a a 3 ′ + + = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha a a 3 ′ ∗ = − ⇒ a a 3 ′ + + = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a izquierda ∗ es conmutativa pues a b ∗ = a + b + 3 = b + a + 3 = b a
             • Otros ejemplos: 1 ) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + ) Son grupos abelianos . También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva. 2 ) ( N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento. 3 ) ( N 0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso aditivo. 4 ) ( Q , • ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. 5 ) ( R , • ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. 6 ) ( Q – { 0 } , • ) y ( R – { 0 } , • ) Son grupos.