Matrices y Propiedades de los determinantes

una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo.
Operaciones sobre matrices
1. Suma y resta de dos matrices es otra matriz y cada uno de sus elementos es igual a la suma de los elementos de las dos matrices anteriores con los mismos subindices
2. Suma de matrices
  1. Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.
3. Resta de matrices
  1. Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la resta es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como la resta de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.
4. Producto de matrices
  1. El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el elemento que ocupa el lugar cij se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la columna “j” de la segunda matriz. Es decir, multiplicamos la primera fila por los elementos de la primera columna y el resultado será nuestro nuevo elemento.
Matrices elementales
1. una matriz elemental de orden n es una matriz que obtiene apartir de la matriz identidad aplicando solo una operación elemental de fila o columna
2. Propiedades
  1. Se puede probar fácilmente que el producto de una matriz cualquiera con una elemental por la izquierda(derecha) equivale a realizar las operaciones elementales entre las filas (columnas)de la matriz A. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas (eventualmente, también elementales), y estas pueden ser calculadas de manera simple pensando en ellas como matrices A a las que se debe aplicar la operación "inversa".
  2. Descomposición de matrices como producto de matrices elementales
El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso.
Calculo de determinantes
1. En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son: 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero. 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo. 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.
  1. 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número. 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinaci
Propiedad 1: Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
Propiedad 2: El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
Propiedad 3: Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.
Propiedad 4: Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
Propiedad 5: Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.

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