SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS

DEFINICION
1. Son aquellas ecuaciones lineales que tienen constantes iguales a cero
  1. Que la solución general de estos sistemas se puede escribir como una combinación lineal de n − r vectores donde n es el número de las incógnitas, y r es el número de los renglones no nulos en la forma escalonada
    1. El Sistema Lineales Homogéneos es un sistema de la forma Ax = 0, esto es, con columna de constantes nula
      1. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneas es compatible, porque el vector cero es una de sus soluciones, llamada solución trivial.
TIPOS DE SOLUCIONES
1. Para un sistema de ecuaciones lineales hay dos casos posibles
  1. --- Puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solución (la trivial)
    1. --- Puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una solución no trivial
EJEMPLOS
1. Hay que determinar cuál situación tiene caso y describir el conjunto de todas las soluciones
  1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas:
    1. 1. Solución: La columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar con la matriz de coeficientes
        Por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el sistema es compatible. Como r = 2 y n = 4, es compatible indeterminado. Tenemos n − r = 2 variables libres. Los pivotes est´an en las columnas 1 y 2, por eso expresamos x1 y x2 a trav´es de las variables x3 y x4
        Notamos que la solución general se puede expandir en una combinación lineal de dos vectores constantes:
        Son soluciones básicas de este sistema de ecuaciones. Hay que hacer la comprabación para los vectores u1 y u2. La hacemos en forma matricial
OTROS EJEMPLOS
1. 1. SOLUCION
    1. 1. Ahora la matriz del sistema es escalonada, y el número de los renglones no nulos es r = 3 = n. Por eso el sistema es compatible determinado, esto es, la ´unica solución es la trivial: x = 0
        En este ejemplo no hay sentido hacer la comprobación para x = 0. Sería más importante comprobar que la matriz del sistema en forma escalonada efectivamente tiene 3 renglones no nulos (en otras palabras, que el rango del sistema es igual a 3), pero en este momento del curso no tenemos métodos para comprobarlo
2. 1. SOLUCION
    1. 1. AquÍ r = 2, n = 3, r < n, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado
        La solución general se puede escribir en forma:
        :
        Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas, Cada solución es un múltiplo de la solución básica u = 34 −11 3> . Comprobación para la solución básica

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