Integralrechnung

Anmerkungen:

• Bei diesem Verfahren wird die Stammfunktion zu einer Funktion gesucht! Umkehroperation zum differenzieren! Keine eindeutige Lösung - additive Konstante!

1. Stammfunktion aller Funktionen ∫f(x)ⅆx=F(x)+C
   1. Additive Integrationskonstante " C "
      1. Definition von "C" => Bestimmte Stammfunktion

Anmerkungen:

• Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Folge von Summen. Die Anzahl der Summanden strebt gegen unendlich, die einzelnen Summanden sind Produkte, deren Wert gegen 0 geht!

1. Fläche unter einer Funktion, begrenzt durch Intervall
   1. Zerlegung des Intervalls in Teilintervalle
      1. Betrag einer Fläche

         Anmerkungen:

         • Es gibt keine negative Fläche
   2. Voraussetzung Beschränkt / Stetig
      1. Integrationsverfahren
         1. Substitutionsmethode

            Anmerkungen:

            • Kettenregel (aus der DR)
            1. Lineare Substitution
         2. Partielle Integration

            Anmerkungen:

            • Produktregel (aus der DR)
            1. Integraltafel
         3. Partialbruchzerlegung

            Anmerkungen:

            • Ziel ist es aus einem "großen/komplizierten Bruch" eine Summe aus mehreren einfachen Brüchen zu bilden. Die anschließend auch einfach zu integrieren sind! Sollte immer möglich sein!
            1. echt gebrochene Integranden
               1. Linearfaktorzerlegung des Nennerpolynoms

                  Anmerkungen:

                  • Max Koeffizient im Bruch = 1
                  1. Sonst Polynomdivision???
                  2. Nst des Nennerpolynoms bestimmen

                     Anmerkungen:

                     • ABC-Formel; Hornerschema; etc
                     1. Qualität der Nst
                        1. Einfach
                           1. Komplex
                           2. Reell
                              1. Koeffizientenvergleich
                              2. Einsetzverfahren
                        2. Mehrfach
                           1. Komplex
                           2. Reell
                              1. Partialbruchzerlegung
                                 1. Koeffizientenvergleich

                                    Anmerkungen:

                                    • Zeitaufwendig
                                 2. Einsetzverfahren
                        3. Keine
            2. Unecht gebrochene Integranden
               1. Polynomdivision
      2. Feststellen der Nullstellen / Polstellen / Lückeh
   3. Mittelwertsatz