Vectores, matrices y determinantes

Conceptos
1. La expresión algebraica de un vector es un par ordenado de números reales a,b, a los cuales se les denomina componentes.
2. La Norma es la magnitud o el tamaño del vector.
3. Un ángulo director es la medida del menor giro formado por dos vectores.
4. El vectores unitario es aquel vector cuya magnitud es una unidad y puede ser contrario o tener la misma dirección y sentido al vector asociado.
Propiedades de los vectores
1. 1. La propiedad clausurativa para la suma, establece que teniendo los vectores u y v, los cuales pertenecen a R^n, el vector resultante de la suma (u+v), también pertenece a R^n.
2. 2. La propiedad clausurativa para el producto por escalar, establece que teniendo el vector u y el escalar α los cuales pertenecen a R^n, el resultado de multiplicar u*α pertenece a R^n.
3. 3. La propiedad asociativa establece que al sumar varios vectores, podemos agruparlos de diferentes formas, según la conveniencia para realizar la suma de estos, obteniendo siempre el mismo resultado.
4. 4. La propiedad conmutativa establece que el resultado de una suma no varía si el orden de los vectores a ser sumados cambia.
5. 5. La propiedad modulativa para la suma establece que al sumar dos vectores, se obtendrá uno de los vectores sumados inicialmente, si el otro vector es igual a 0.
6. 6. La propiedad del opuesto para la suma establece que el resultado de una suma de dos vectores será igual a 0, si uno de los vectores tiene el mismo valor opuesto.
7. 7. La propiedad distributiva del producto por escalar respecto a la suma establece que al realizar la multiplicación de un escalar por dos vectores que se suman, es igual que sumar el resultado obtenido de multiplicar el producto por escalar por cada uno de los vectores.
8. 8. La propiedad asociativa respecto al producto por escalar, establece que al realizar la multiplicación de varios vectores, es posible agruparlos de diferentes formas, según la conveniencia, obteniendo siempre el mismo resultado.
Operaciones con vectores
1. Suma de vectores
  1. Da como resultado un nuevo vector, en el cual se encuentran sumados componente a componentes, los elementos de dos vectores.
2. Producto por escalar
  1. Se obtiene un escalar como resultado de la suma de los productos de los componentes de dos vectores.
3. Vectores canónicos
  1. Son un conjunto de vectores unidos entre ellos, donde uno de los valores de sus componentes es 1 y los demás son 0.
4. Producto cruz
  1. Llamado también producto vectorial. Se obtiene de la siguiente forma:
Matrices
1. Tipos de matrices
  1. 1. Una matriz fila o vector fila está formada por una sola fila.
  2. 2. Una matriz columna o vector columna está formada por una sola columna.
  3. 3. Una matriz nula es aquella que todos sus elementos son nulos o ceros.
  4. 4. La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas y de columnas.
  5. 4.1. La matriz triangular superior es una matriz cuadrada, donde los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal son todos ceros.
  6. 4.2. La matriz triangular inferior es una matriz cuadrada, donde los elementos que quedan por encima de la diagonal principal son todos ceros.
  7. 4.3. La matriz diagonal es una matriz cuadrada, donde los elementos que no están en la diagonal principal son todos ceros.
  8. 4.4. La matriz identidad es una matriz cuadrada, donde los elementos que están en la diagonal principal son todos unos.
2. Operaciones entre matrices
  1. 1. Suma de matrices. Se obtiene como resultado una nueva matriz del mismo tamaño de las matrices restadas, luego de haber sumado componente a componente los elementos de dos matrices (solo es posible realizar sumas cuando las matrices tienen el mismo tamaño).
  2. 2. Resta de matrices. Se obtiene como resultado una nueva matriz mismo tamaño de las matrices restadas, luego de haber restado componente a componente los elementos de dos matrices (solo es posible realizar restas cuando las matrices tienen el mismo tamaño).
  3. 3. Multiplicación de matrices. La multiplicación entre matrices solo es posible si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. El elemento resultante que se encuentra en la fila i columna j de la matriz C=A*B se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de la fila A por los elementos de la columna de B y sumando sus resultados.
  4. 4. Matriz inversa. Es aquella matriz que al ser multiplicada con la matriz inicial A (teniendo presente que A debe ser del tamaño n*n,) da como resultado la matriz identidad. Para obtener la matriz inversa se puede utilizar el método de Gaus Jordan, o el método de determinante y adjunta.
Propiedades de los determinantes
1. 1. Si una matriz tiene una línea de ceros, entonces el determinante de esa matriz es cero.
2. 2. Si una matriz tiene dos líneas iguales, su determinante es nulo “0”.
3. 3. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz, su determinante cambia de signo.
4. 4. Si multiplicamos todos los elementos de una línea de una matriz por un número diferente de cero, el determinante queda multiplicado por ese número.
5. 5. Si a una línea de una matriz se le suma o se le resta otra línea multiplicada por un número, el determinante no cambia.
6. 6. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
7. 7. Si una matriz tiene inversa, entonces:

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