Triángulos Semejantes y Teorema de Pitagoras

Triángulos semejantes

Instrucciones: Realizar en una ficha de trabajo un formulario con el tema.   Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos. Si hacemos coincidir los vértices de los dos triángulos que tengan el mismo ángulo, obtenemos lo que se llama posición en Thales de los triángulos semejantes.    

Como has visto cuando colocamos dos triángulos en posición de Thales, si prolongáramos todos los segmentos, obtendríamos precisamente las condiciones en las que se cumple el teorema de Thales: dos rectas cortadas a su vez por rectas paralelas entre sí.   Como consecuencia; podemos establecer que la proporción entre dos lados cualesquiera de uno de los dos triángulos, es igual a la misma proporción entre los lados correspondientes en el otro triángulo. Esta propiedad nos va a permitir calcular un lado de un triángulo a partir de otro conocido y las medidas de los lados de otro triángulo semejante a él. En el siguiente apartado vamos a aplicarla a la resolución de problemas de cálculos de longitudes.

Ejemplos

1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

2. Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Teorema de Pitagoras

Instrucciones: Realizar en una ficha de trabajo un formulario con el tema. Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,

Recordemos que: el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes. la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b. El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos. Existen cientos de demostraciones de este resultado. La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. C.) fue construida en base al llamado triángulo sagrado egipcio, que es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5. La comprensión del teorema es sencilla y tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana, como veremos en los problemas de esta sección. Pero también tiene sus aplicaciones en las matemáticas avanzadas (análisis vectorial, análisis funcional...).

Ejemplos

Problema 1 (dificultad muy alta) Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden ,  y su base 3.

Para poder calcular la altura del triángulo, a, tenemos que dividirlo en dos triángulos rectángulos (para poder aplicar el teorema de Pitágoras). Los dos triángulos son los siguientes:

La base del triángulo (que mide 3) se divide en dos (la base de cada triángulo). No sabemos cuánto mide cada base, pero sí que sabemos que                                                                                                            x+y=3 Aplicamos Pitágoras al primer triángulo y obtenemos la ecuación:

Notemos que no conocemos ninguno de los dos catetos. Procediendo del mismo modo para el otro triángulo, obtenemos

Es decir, tenemos las siguientes ecuaciones:

Podemos aislar la y en la tercera ecuación, obteniendo

En la segunda ecuación tenemos una y, que sabemos que es 3 - x, así que sustituimos en ella:

Como tenemos una resta al cuadrado, aplicamos la fórmula del binomio de Newton, que recordamos que es

Por tanto,

Ahora despejamos a^2

Recordemos que también teníamos la ecuación

Despejamos también en ella a^2

Es decir, las dos ecuaciones que tenemos son

Y como a^2 = a^2, podemos igualar ambas expresiones obteniendo una ecuación de primer grado

Sabiendo el valor de x podemos obtener el de y

Ya sabemos cuánto mide cada base y podemos ahora calcular la altura. La primera de las ecuaciones era

Como sabemos que x = 1 tenemos que

Y como a es la altura, no puede ser negativa. Por tanto, la altura del triángulo es                                                                                                        a=1

Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

Imaginamos un triángulo rectángulo de modo que su base, b, es la sombra del árbol, su altura, a, es la altura del árbol y su hipotenusa, h, es la distancia desde el árbol al extremo de la sombra.

Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular su altura, a:

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:

Por tanto, la altura del árbol es, aproximadamente, 3.12 metros.