Binomio Al Cuadrado

Binomio al cuadrado

Un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos que se suman o se restan. A su vez, éstos términos pueden ser positivos o negativos. Un binomio al cuadrado es una suma algebraica que se suma por sí misma, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es (a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)2. El producto de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto. Se le llama cuadrado perfecto, porque el resultado de su raíz cuadrada siempre es un binomio. Como en toda multiplicación algebraica, el resultado se obtiene multiplicando cada uno de los términos del primer término, por los términos del segundo, y sumando los términos comunes: Al elevar al cuadrado el binomio: x+z, la multiplicación la haremos de la siguiente forma: (x+z)2 = (x+z)(x+z) = (x)(x)+(x)(z)+(z)(x)+(z)(z)= x2+xz+xz+z2 = x2+2xz+z2 Si el binomio es x–z, entonces la operación será: (x–z)2 = (x–z)(x–z) = (x)(x)+(x)( –z)+( –z)(x)+(z)(z)= x2–xz–xz+z2 = x2–2xz+z2 Aquí, es conveniente recordar algunos puntos importantes: Todo número elevado al cuadrado, siempre da como resultado un número positivo: (a)(a) = a2; (–a)( –a)= a2 Todo exponente elevado a una potencia, se multiplica por la potencia a la que se eleva. En este caso, todos los exponentes elevados al cuadrado, se multiplican por 2: (a3)2 = a6; (–b4)2 = b8 El resultado de un binomio al cuadrado, siempre es un trinomio cuadrado perfecto. A este tipo de operaciones se les llama productos notables. En los productos notables, el resultado se puede obtener por inspección, es decir, sin hacer todas las operaciones de la ecuación. En el caso del binomio al cuadrado, el resultado se obtiene con las siguientes reglas de la inspección: Escribiremos el cuadrado del primer término. Sumaremos el doble del primero por el segundo término. Sumaremos el cuadrado del segundo término. Si aplicamos estas reglas a los ejemplos que usamos arriba, tendremos: (x+z)2 Escribiremos el cuadrado del primer término: x2 Sumaremos el doble del primero por el segundo término: 2xz Sumaremos el cuadrado del segundo término: z2. El resultado es: x2+2xz+z2 (x–z)2 Escribiremos el cuadrado del primer término: x2. Sumaremos el doble del primero por el segundo término: –2xz. Sumaremos el cuadrado del segundo término: z2. El resultado es x2+(–2xz)+z2 = x2–2xz+z2 Como podemos observar, en el caso de que la operación de multiplicar el primer por el segundo término, sea un resultado negativo, es lo mismo que directamente restar el resultado. Recordemos que al sumar un número negativo, y reducir los signos, el resultado será restar el número.

Ejemplos de binomios al cuadrado:  (4x3 – 2y2)2 El cuadrado del primer término: (4x3)2 = 16x6 El doble producto del primero por el segundo: 2 [(4x3)(–2y2)] = –16x3y2 El cuadrado del segundo término: (2y2)2 = 4y4 (4x3 – 2y2)2 = 16x6 –16x3y2+ 4y4 (5a3x4 – 3b6y2)2 = 25a6x8 – 30a3b6x4y2+ 9b12y4 (5a3x4 + 3b6y2)2 = 25a6x8 + 30a3b6x4y2+ 9b12y4 (– 5a3x4 – 3b6y2)2 = 25a6x8 + 30a3b6x4y2+ 9b12y4 (– 5a3x4 + 3b6y2)2 = 25a6x8 – 30a3b6x4y2+ 9b12y4 (6mx + 4ny)2 = 36m2n2 + 48mnxy + 16n2y2 (6mx – 4ny)2 = 36m2n2 – 48mnxy + 16n2y2 (–6mx + 4ny)2 = 36m2n2 – 48mnxy + 16n2y2 (–6mx – 4ny)2 = 36m2n2 + 48mnxy + 16n2y2 (4vt – 2ab)2 = 16v2t2 – 16abvt + 4a2b2 (–4vt + 2ab)2 = 16v2t2 – 16abvt + 4a2b2 (–4vt – 2ab)2 = 16v2t2 + 16abvt + 4a2b2 (4vt + 2ab)2 = 16v2t2 + 16abvt + 4a2b2 (3x5 + 8)2 = 9x10 + 48x5 + 64 (– 3x5 – 8)2 = 9x10 + 48x5 + 64 (– 3x5 + 8)2 = 9x10 – 48x5 + 64 (3x5 – 8)2 = 9x10 – 48x5 + 64 (3a3b – 3ab3)2 = 9a6b2 – 18a4b4 + 9a2b6 (3a3b + 3ab3)2 = 9a6b2 + 18a4b4 + 9a2b6 (– 3a3b – 3ab3)2 = 9a6b2 + 18a4b4 + 9a2b6 (–3a3b + 3ab3)2 = 9a6b2 – 18a4b4 + 9a2b6 (2a – 3b2)2 = 4a2 + 12 ab2 + 9b4 (2a + 3b2)2 = 4a2 + 12 ab2 + 9b4 (–2a + 3b2)2 = 4a2 – 12 ab2 + 9b4 (2a – 3b2)2 = 4a2 – 12 ab2 + 9b4