introducción a la geometría

introducción a la geometría C APÍTULO 11 Resumen del contenido El Capítulo 11 es una vista previa de geometría. Aún así, en algunos lugares ésta utiliza ecuaciones lineales. Los estudiantes también se enfocan en las expresiones radicales y las operaciones con radicales. Geometría sintética El estudio original de la geometría ahora se llama sintética para distinguirla de la geometría analítica de los sistemas de coordenadas, la cual se desarrolló mucho más tarde. En el área de la geometría sintética, el libro se enfoca en el Teorema de Pitágoras y en figuras similares—figuras que son estiramientos o encogimientos de cada una por el mismo factor en cada dirección. Geometría analítica La geometría analítica es la geometría de las gráficas de coordenadas, las cuales usan ecuaciones algebraicas para representar figuras geométricas. Los estudiantes han estado trabajando con geometría analítica a lo largo de este curso. Ya han visto cómo las rectas paralelas tienen la misma pendiente, y cómo esa pendiente aparece en las ecuaciones de las rectas. En este capítulo verán cómo se relacionan las pendientes y las ecuaciones de rectas perpendiculares. También verán cómo hallar las coordenadas de los puntos medios de segmentos de rectas. Al considerar cómo el Teorema de Pitágoras se traslada a la geometría de coordenadas, los estudiantes aprenden a trabajar con raíces cuadradas. Trigonometría Cuando una figura geométrica se estira o encoje uniformemente, todos los ángulos mantienen sus medidas y todos los lados se multiplican por la misma cantidad; por lo tanto, la razón del largo de un lado a otro permanece igual. Este estiramiento y encogimiento produce figuras similares, las cuales tienen ángulos correspondientes iguales y largos de lados correspondientes proporcionales. El estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos rectos similares es parte de la trigonometría. En particular, en triángulos rectos similares, la razón de, por ejemplo, el largo del lado opuesto a un ángulo agudo particular al largo de la hipotenusa es el mismo, no importa cuál sea el agrandamiento. Cada ángulo agudo de un triángulo recto tiene varias de estas razones asociadas con él. Éstas se llaman razones trigonométricas. El libro considera tres tales razones: el seno, el coseno y la tangente. Los estudiantes usan calculadoras para hallar los valores de estas razones para varios ángulos y, a la inversa, los ángulos que corresponden a varias razones dadas.Problema de resumen Usted y su estudiante pueden volver a visitar este problema, adaptado del Ejercicio 7 en la Lección 11.1, varias veces mientras trabajan a través del capítulo. ¿Qué puedes decir acerca del cuadrilátero con vértices (5, 0), (1, 4), (6, 3) y (3, 3)? Preguntas que podría hacer, en su papel de estudiante para su estudiante, incluyen: ● ¿Algunos de los lados parecen ser paralelos? ● ¿Algunos de los lados parecen ser perpendiculares? ● ¿Puedes confirmar tus conjeturas? ● ¿Cuáles son las ecuaciones de las cuatro rectas que contienen los lados del cuadrilátero? ● ¿Las diagonales se encuentran en sus puntos medio? ● ¿Puedes hallar los largos de las diagonales? ● ¿Puedes hallar las medidas de los ángulos? Repuestas ejemplares Dos de los lados son paralelos y 1 2 3 x y 3y 10 2x tienen pendiente de 2 3 , y un tercer lado es perpendicular a ellos 2y 15 3x con una pendiente de 3 2 . El cuarto lado está contenido en la ecuación de la recta 5y 21 x. Las diagonales caen sobre las rectas con ecuaciones y 7 4 (x 1) 4 y y 1 3 1 (x 5). Graficar y trazar indica que las diagonales se encuentran en aproximadamente (0.6, 1.2), lo cual no es ninguno de los puntos medios (1, 0.5) o (0.5, 1.5). Las diagonales tienen largos de 65 y 130. Si se hace un triángulo recto bajando una perpendicular desde el vértice (1, 4) hasta el lado paralelo opuesto, puede hallar que el seno del ángulo en el vértice (6, 3) es . Resuelve la ecuación sen1 x para hallar que el ángulo es 45°.