FRACCIONES...

DEFINICIÓN ...

Una FRACCIÓN indica una parte de un TODO. Equivale a una DIVISIÓN.

Se compone de dos números enteros separados por una barra: NUMERADOR y DENOMINADOR. El DENOMINADOR indica las PARTES iguales en que se divide un TODO. El NUMERADOR indica las PARTES que se toman. Así, si una tarta la divido en 8 partes iguales y como 3 porciones, la FRACCIÓN tomada es: \(\frac{3}{8}\). Restan: \(\frac{5}{8}\)

TIPOS ...

PROPIAS: Tienen el NUMERADOR menor que el DENOMINADOR. ... Es decir, menor que 1 (menor que el TODO): \(\frac{2}{3}\)IMPROPIAS: Tienen el NUMERADOR mayor que el DENOMINADOR. ... Es decir, mayor que 1 (mayor que el TODO): \(\frac{3}{2}\)NÚMEROS MIXTOS: Compuestos de ENTERO+FRACCIÓN PROPIA. ... Se escriben sin el signo de la suma: \(2\frac{3}{4}\) = (2x4+3)/4 = \(\frac{11}{4}\)

Los NÚMEROS MIXTOS se utilizan en lugar de FRACCIONES IMPROPIAS... Así, no decimos 11/4 de h (once cuartos de hora), sino 2h y 3/4

FRACCIÓN IMPROPIA a MIXTO: Se realiza la división entera entre ambos miembros: El cociente es el número ENTERO y... El RESTO con el DIVISOR forman la FRACCIÓN... \(\frac{10}{3}\) = 10:3 = 3, r=1 => 3\(\frac{1}{3}\)

MIXTO a FRACCIÓN IMPROPIA: NUMERADOR: Producto del entero por el denominador. Éste más el numerador. DENOMINADOR: el mismo de la fracción... 5\(\frac{2}{3}\) => 5x3+2 => 17/3

EXPRESIÓN ...

RECUERDA que para escribir una fracción en línea se usa la barra: / Así: \(\frac{2}{3}\) = 2/3 RECUERDA que una FRACCIÓN equivale a una DIVISIÓN: \(\frac{1}{8}\) = 1/8 = 1:8 = 0,125

LECTURA ...

Se nombra el NUMERADOR (cardinal) y el DENOMINADOR así: Si es 2 => medios... Si es 3 => tercios... De 4 a 10 => como sus ordinales... Más de 10 => cardinal+avos. Así: ... 1/2 = Un medio ... 2/3 = Dos tercios ... 3/4 = Tres cuartos ... 2/5 = Dos quintos ... 7/10 = Siete décimos ... 5/12 = Cinco doceavos ... 9/25 = Nueve veinticincoavos ... 16/92 = Dieciséis noventaidosavos

FRACCIONES EQUIVALENTES ...

Son las que respresentan la misma cantidad... Se pueden obtener multiplicando o dividiendo los dos miembros por un mismo número: \(\frac{8}{12}\) [x2] => 16/24... => 40/60, 88/132 ... \(\frac{8}{12}\) [:2] => 4/6 [:2] => 2/3 => SIMPLIFICACIÓN de FRACCIONES Para COMPROBAR si dos fracciones son equivalentes se multiplican sus miembros en cruz (numerador1/2 x denominador2/1), si los productos son iguales, las fracciones son equivalentes: \(\frac{18}{27}\) y \(\frac{8}{12}\) => 18x12 y 8x27 => 216=216

ORDENAR FRACCIONES ...

Se multiplican sus miembros en cruz (numerador1/2 x denominador2/1). Se asocia cada producto a la fracción del numerador tomado. Se ordena por estos productos. \(\frac{3}{4}\) y \(\frac{5}{7}\) => 3x7 y 5x4 => 21 y 20 ... Por lo tanto, 21 > 20 => \(\frac{3}{4}\) > \(\frac{5}{7}\)

EJERECICIOS:\(\frac{1}{2}\) > \(\frac{2}{5}\) => 1x5 y 2x2 => 5 > 4 \(\frac{2}{3}\) < \(\frac{3}{4}\) => 2x4 y 3x3 => 8 < 9 Ordenar:\(\frac{2}{3}\) y \(\frac{5}{7}\) y \(\frac{3}{4}\) y \(\frac{3}{5}\)... 2x7x4x5 y 5x3x4x5 y 3x3x7x5 y 3x3x7x4 = 280 y 300 y 315 y 252... \(\frac{3}{4}\) > \(\frac{5}{7}\) > \(\frac{2}{3}\) > \(\frac{3}{5}\)

A DECIMAL ...

Para expresar una FRACCIÓN en DECIMAL, se realiza la división de ambos miembros: \(\frac{3}{5}\) = 3:5 = 0,6 \(\frac{2}{3}\) = 2:3 = 0,\(\stackrel{\frown}{6}\) \(\frac{1}{8}\) = 1:8 = 0,125

Para convertir un DECIMAL EXACTO en FRACCIÓN, se toma el número sin coma como NUMERADOR, y de DENOMINADOR: la unidad seguida de tantos ceros como decimales del número. Se simplifica si se puede (dividiendo ambos miembros por un mismo número)... 0,6 => 6/10 [:2] = 3/5 0,125 => 125/1.000 [:125] => 1/8 3,24 => 324/100 [:4] => 81/25  En MIXTO: 3\(\frac{6}{25}\) 

Para convertir un DECIMAL PERIÓDICO en FRACCIÓN: Se multiplica el NÚMERO por la unidad seguida de tantos ceros como decimales no periódicos. Se multiplica el NÚMERO por la unidad seguida de tantos ceros como cifras no periódicas y periódicas. Se restan ambos productos, con lo que se elimina la parte decimal. Este resultado se toma como NUMERADOR, y de DENOMINADOR: la diferencia de los dos FACTORES de unidad seguida de ceros. Se simplifica si se puede (dividiendo ambos miembros por un mismo número)…     Periódico PURO: 5,\(\stackrel{\frown}{3}\) => (x10) =53,\(\stackrel{\frown}{3}\) 53,\(\stackrel{\frown}{3}\) – 5,\(\stackrel{\frown}{3}\) = 48 10-1 = 9 Por lo tanto => 48/9 [:3] = 16/3 En MIXTO: 5\(\frac{1}{3}\)      Periódico MIXTO: 2,3\(\stackrel{\frown}{45}\) => (x10) = 23,\(\stackrel{\frown}{45}\) 2,3\(\stackrel{\frown}{45}\) (x1.000) = 2345,\(\stackrel{\frown}{45}\)... 2345,\(\stackrel{\frown}{45}\) – 23,\(\stackrel{\frown}{45}\) = 2.322 1.000 – 10 = 990 => 2.322/990 [:18] = 129/55  En MIXTO: 2\(\frac{19}{55}\) 

FRACCIÓN de una CANTIDAD ...

Piensa que la CANTIDAD es como si fuese un TODO: \(\frac{3}{4}\) de hora = 3/4 de 60 minutos: Dividimos 60:4 y tomamos 3... 60:4x3 = 45 minutos

Por lo tanto, como MÉTODO general: \(\frac{a}{b}\) de N => N:b x a \(\frac{3}{8}\) de 200 => 200:8x3 = 25x3 = 75

Al contrario, calcular la FRACCIÓN que representa una cantidad de otra...¿Qué FRACCIÓN representa 90 de 300?: 90/300 Simplificando (entre 30) => 90:30 / 300:30 => 3/10

SUMA y RESTA ...

Método GENERAL: Se multiplica cada numerador por los denominadores de las demás fracciones. Se suman o restan esos productos, formando el numerador resultado. Se multiplican todos los denominadores entre sí, formando el denominador resultado. Se simplifica, si se puede (dividiendo ambos miembros por un mismo número).

SUMA: \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{2·5+3·3}{3·5}\) = \(\frac{10+9}{15}\) = \(\frac{19}{15}\) RESTA: \(\frac{2}{3}\) – \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{2·5–3·3}{3·5}\) = \(\frac{10–9}{15}\) = \(\frac{1}{15}\) SUMA y RESTA: \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{2·4·5+1·3·5–3·3·4}{3·4·5}\) = \(\frac{40+15–36}{60}\) = \(\frac{19}{60}\) \(\frac{3}{5}\) – \(\frac{5}{8}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3·8·4–5·5·4+1·5·8}{5·8·4}\) = \(\frac{96–100+40}{160}\) = \(\frac{36}{160}\) (Simplificando [:4]) = 9/40 

MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN ...

MULTIPLICACIÓN: Se multiplican los numeradores entre sí, formando el numerador resultado. Se multiplican los denominadores entre sí, formando el denominador resultado. Se simplifica si se puede (dividiendo ambos miembros por un mismo número).   \(\frac{2}{5}\) x \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{2·3}{5·4}\) = \(\frac{6}{20}\)... Se puede simplificar, dividiendo ambos miembros por 2 => \(\frac{3}{10}\)      

DIVISIÓN: Se multiplican LA 1ª FRACCIÓN x la INVERSA de la 2ª (intercambiando sus miembros).Se simplifica si se puede (dividiendo ambos miembros por un mismo número).\(\frac{2}{5}\) : \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{2}{5}\) x \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{2·4}{5·3}\) = \(\frac{8}{15}\)

EJERCICIOS ...

Fracción a Decimal: 1/2 = 1:2 = 0,5 3/4 = 3:4 = 0,75 8/5 = 8:5 = 1,6 2/3 = 2:3 = 0,\(\stackrel{\frown}{6}\) 

Fracción impropia a Mixto: 5/3 = 1+2/38/5 = 1+3/515/4 = 3+3/4

Nombrar Fracciones: 1/2 => Un medio (mitad) ... ... 2/3 => Dos tercios3/4 => Tres cuartos ... ... ... ... 2/5 => Dos quintos7/10 => Siete décimos ... ... 9/12 => Nueve doceavos11/15 => Once quinceavos ... 15/21 => Quince veintiunavos

Fracciones Equivalentes:      Por MULTIPLICACIÓN: 2/3 = 4/6 = 10/15 = 14/21 ... 3/5 =9/15 = 21/35 = 36/60 …      Por DIVISIÓN (REDUCIR o SIMPLIFICAR): 36/60 [:2] = 18/30 [:2] =9/15 [:3] =3/5 30/40 [:2] = 15/20 [:5] =3/4      OTRAS (Iguales productos cruzados): 9/6 = 6/4 pues 9·4 = 6·6 =36

SUMA y RESTA:2/3 + 3/4 = (2·4+3·3)/3·4 =(8+9)/12 =17/123/5 + 2/3 + 1/4 = (3·3·4+2·5·4+1·5·3)/5·3·4 = (36+40+15)/60 = 91/603/4 – 2/3 = (3·3–4·2)/4·3 = (9–8)/12 = 1/122/5 + 3/4 – 1/3 = (2·4·3+3·5·3–1·5·4)/5·4·3 = (24+45–20)/60 = 49/60

MULTIPLICAR y DIVIDIR:2/3 · 1/4 = 2·1 / 3·4 = 2/12 [:2] = 1/63/2 : 1/4 = 3/2 · 4/1 = 3·4 / 2·1 = 12/2 = 6

3/4 de hora = 3/4 · 60 min = 3·60/4 = 180/4 = 45 minutos. 1/5 de litro = 1/5 de 100 cl = 1/5 · 100 = 100/5 = 20 cl Cuarto y mitad de kg = 1/4+1/2·1/4 = 1/4+1/8 = 12/32 = 3/8 · 1.000 g = 3.000/8 = 375 g

ORDENAR (De menor a mayor): 2/3 , 3/4 , 1/2 , 5/7 , 4/5 2·4·2·7·5 , 3·3·2·7·5 , 1·3·4·7·5 , 5·3·4·2·5 , 4·3·4·2·7 560 , 630 , 420 , 600 , 672 420 < 560 < 600 < 630 < 6721/2 < 2/3 < 5/7 < 3/4 < 4/5