Die Binominalverteilung ist eine diskrete Verteilung deren Wahrscheinlichkeitsfunktion stets symmetrisch bezüglich des Erwartungswerts ist.

Sind X und Y zwei beliebige Zufallsvariablen mit den Varianten V(X) resp. V(Y) und bezeichnet U = X+Y die Summe der beiden Zufallsvariablen, so gilt für die Varianz V( U) der neuen Zufallsvariablen stets V(U) = V(X) + V(Y):

Die Wahrscheinlichkeit dafür , dass eine t-verteilte Zufallsvariable einen positiven Wert annimmt , beträgt stets 0,5.

Es sei X eine mit 3 Freiheitsgraden t-verteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ = E(X). Wenn man die Anzahl der Freiheitsgrade erhöht, bleibt der Erwartungswert unverändert.

Es sei X eine mit 3 Freiheitsgraden t-verteilten Zufallsvariable. Wenn man die Anzahl der Freiheitsgrade der t-Verteilung erhöht, wird das 0,05 Quantil kleiner.

Wenn man auf der Basis eines Datensatzes (x1; y1), (x2; y2), ... , (xn; yn) für zwei
Merkmale X und Y für den Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson den Wert 0 errechnet, beinhaltet dies, dass zwischen den beiden Merkmalen kein Zusammenhang vorliegt

Bei einer Studie für ein neues Medikament wurden bei einer Patientengruppe für jede Person jeweils zwei Merkmale X und Y erfasst. Das Merkmal X weise die Ausprägungen a1 und a2, das Merkmal Y die Ausprägungen b1 und b2 auf. Die beobachteten Häufigkeiten für die einzelnen Ausprägungen sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst
b1 b2
a1 20 25
a2 40 15
Mit diesen Werten errechnet sich für den X2-Koeffizienten ein Wert, der oberhalb
von 8; 0 liegt.

Der Rangkorrelationskoeffizient rSP lässt sich auch auf nominalskalierte Merkmale anwenden.

Berechnet man auf der Basis eines Datensatzes (x1; y1), (x2; y2), ... , (xn; yn) den
Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson und quadriert diesen, so erhält man ein Maß für die Anpassungsgüte einer Regressionsgeraden an einen Datensatz.

Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y ist ein Zusammenhangsmaß, das
nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen kann.

Die Stichprobenfunktion S² liefert eine unverzerrte Schätzung für die Varianz o².

Wenn man den Erwartungswert µ anhand des Stichprobenmittelwerts X (quer) schätzt und die Qualität dieses Schätzers anhand des mittleren quadratischen Fehlers (MSE) beurteilt, hat man mit X ( quer) eine Schätzfunktion, deren MSE und Varianz übereinstimmen

Man kann den Erwartungswert µ eines normalverteilten Merkmals auch durch Angabe eines Konfidenzintervalls schätzen. Die Grenzen eines Konfidenzintervalls sind zufallsabhängig

Ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ muss den zu schätzenden Parameter µ nicht notwendigerweise enthalten.

Die Länge eines Konfidenzintervalls für µ nimmt ab, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit a reduziert wird. (Mit „Länge“ ist hier der Abstand zwischen den beiden Intervallgrenzen gemeint.)

Wenn bei obigem Test für die Prüfgröße ein Wert ermittelt wird, der den Wert des 0; 95-Quantils der Standardnormalverteilung überschreitet, ist die Nullhypothese zu verwerfen.

Wird bei obigem Test für die Prüfgröße der Wert 1; 85 ermittelt, wird die Nullhypothese verworfen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, beträgt bei obigem Test 0; 05

Wenn µ ≠ µ0 gilt, ist ein Fehler 2. Art möglich, nicht aber ein Fehler 1. Art

Die Gütefunktion G(µ) des Tests hat an der Stelle µ = µ0 den Wert 0; 05.

Hat man eine Vierfeldertafel, die sich auf n Beobachtungen für zwei binäre Merkmale bezieht, so kann man den Wert des X²-Koeffizienten errechnen. Der resultierende Wert für dieses Zusammenhangsmaß kann nicht größer als n sein.

Wenn man auf der Basis eines Datensatzes (x1; y1), (x2; y2), ... , (xn; yn) für zwei Merkmale X und Y für den Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson den Wert 0 errechnet, beinhaltet dies, dass zwischen den beiden Merkmalen kein Zusammenhang vorliegt

Der Rangkorrelationskoeffizient rSP kann keine negativen Werte annehmen

Bei einer Bank wird die Risikobewertung bei der Vergabe größerer Kredite von zwei unabhängig voneinander tätigen Sachbearbeitern A und B vorgenommen. Die Bewertung erfolgt jeweils anhand einer 10-stufigen Ratingskala, wobei die Punktzahl 10 die beste Bewertung repräsentiert. Die Ergebnisse der Bewertungen für vier
Anträge auf Bewilligung solcher Kredite sind nachstehend ausgewiesen
Sachbearbeiter A Sachbearbeiter B
Kreditantrag i Bewertung xi Bewertung yi
1 4 5
2 7 9
3 9 8
4 8 6

Mit diesen Bewertungen resultiert für den Rangkorrelationskoeffizienten rSP von
Spearman ein Wert, der kleiner als 0; 5 ist.

Sind X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen mit den Varianzen V (X) resp. V (Y ) und bezeichnet U = X+Y die Summe der beiden Zufallsvariablen, so gilt für die Varianz V (U) der neuen Zufallsvariablen die Gleichung V (U) = V (X)+V (Y ).

In Deutschland wird das Lottospiel „6 aus 49“ angeboten (Lotto ohne Zusatzzahl). Dabei werden 6 Kugeln aus einer Trommel mit 49 Kugeln gezogen. Jeder Lottospieler kann danach die Anzahl X der „Richtigen“ durch Vergleich der gezogenen Zahlen mit den Zahlen auf dem abgegebenen Lottoschein ermitteln. Wenn man das Lottospiel „6 aus 45“ spielte (mit nur 45 Kugeln), hätte der Erwartungswert für die Zufallsvariable Anzahl X der „Richtigen“ einen Wert oberhalb von 0; 82

Wenn eine Zufallsvariable t-verteilt ist, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie einen positiven Wert annimmt, genauso so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen negativen Wert annimmt

Getestet werden sollen zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau die Hypothesen

H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ ≠ µ0

die sich auf den Erwartungswert µ eines normalverteilten Merkmals beziehen. Anhand des aus Stichprobendaten errechneten Wertes einer geeigneten Prüfgröße kommt man zu einer Testentscheidung, die entweder richtig ist (kein Fehler) oder falsch ist (Auftreten eines Fehlers 1. Art oder 2. Art). Für jeden beliebig gewählten Wert von µ gilt, dass bei diesem µ nur einer der beiden genannten Fehler auftreten kann

Der zweiseitige Test aus Aufgabenteil C, der sich auf den Erwartungswert µ eines normalverteilten Merkmals bezieht, kann nur bei bekannter Varianz der Normalverteilung als Gauß-Test durchgeführt werden. Falls die Varianz der Normalverteilung nur in Form einer Schätzung vorliegt, ist der Test als t-Test (t-verteilte Prüfgröße) durchzuführen. Die kritischen Grenzen, die den Annahmebereich vom Ablehnungsbereich trennen, liegen beim t-Test weiter vom Nullpunkt entfernt als beim Gauß-Test

Der Erwartungswert einer t-verteilten Zufallsvariable stimmt stets mit dem Erwartungswert der Standardnormalverteilung überein

Der Stichprobenmittelwert X repräsentiert eine unverzerrte Schätzung für den Erwartungswertµ

Wenn man die quadrierten Abweichungen (X1 – X quer)², (X2- Xquer)², ... , (Xn – Xquer )² aufsummiert und die resultierende Summe durch n dividiert, also den Mittelwert aus den quadrierten Abweichungen bildet, hat man eine unverzerrte Schätzung für die Varianz o2 des Merkmals X.

Man kann den Erwartungswert µ auch durch Angabe eines Konfidenzintervalls schätzen. Letzteres ist ein Intervall, das stets so groß gewählt wird, dass es den unbekannten Parameter µ enthält

Der Abstand der Intervallgrenzen eines Konfidenzintervalls für µ, d. h. die Länge des Konfidenzintervalls, nimmt ab, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit a reduziert wird

Schätzt man µ anhand eines Konfidenzintervalls, so hängt der Abstand der Intervallgrenzen davon ab, wie groß der Stichprobenumfang n ist. Je größer n gewählt wird, desto kürzer wird das Konfidenzintervall

Wenn eine Messung dem Gütekriterium „Reliabilität“ genügt, genügt sie auch dem Gütekriterium der „Validität“.

In einer stichprobenbasierten Untersuchung sollen politische Einstellungen von Schülern an Hauptschulen in der Bundesrepublik Deutschland anhand eines standardisierten Interviews erhoben werden. Die Stichprobe wird dadurch erzeugt, dass aus allen Hauptschulen in Deutschland nach einem Zufallsverfahren 120 Schulen ausgewählt werden, in denen dann alle Schüler befragt werden. Bei dieser Vorgehensweise sind die Schüler die Auswahleinheiten.

Die Klumpenauswahl ist eine zweistufige Auswahlprozedur, bei der in der ersten Stufe Teilmengen der Grundgesamtheit – sog. Klumpen – zufällig ausgewählt werden. Aus jedem Klumpen wird dann in der zweiten Verfahrensstufe eine Zufallsstichprobe gezogen.

Bei einer geschichteten Stichprobenauswahl wird eine Grundgesamtheit in Teilmengen zerlegt (sog. Schichten), denen dann jeweils Zufallstichproben entnommen werden. Dabei wird jeder Schicht stets ein fester Prozentsatz von Stichprobenelementen zufällig entnommen

Undercoverage ist ein Selektionsfehler, der bei stichprobenbasierten Datenerhebungen auftreten kann. Er entsteht, wenn nicht alle Elemente der Population, aus der eine Stichprobe gezogen werden soll, tatsächlich bei der Stichprobenziehung berücksichtigt werden.

Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y ist ein Zusammenhangsmaß, das nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen kann

Der Korrelationskoeffizient r nach Bravais-Pearson misst die Stärke eines linearen oder nicht-linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen X und Y .

Wenn r = 0 ist, bedeutet dies, dass die Datenpaare (x1; y1);…; (xn; yn) alle auf einer Geraden mit Steigung 0 liegen

Der Rangkorrelationskoeffizient rSP kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen

Bei einer Studie wurde bei 28 Jugendlichen jeweils das Verhalten bezüglich des Alkoholkonsums erfasst. Beim Merkmal „Alkohokonsum X“ wurden drei Ausprägungen unterschieden (a1 = durchschnittlicher Konsum von bis zu 15 ml reinen Alkohols pro Tag; a2 = über 15 ml bis einschließlich 30 ml; a3 = über 30 ml). Zusätzlich wurde noch nach Geschlecht Y unterschieden (b1 = männlich, b2 = weiblich). Die Ergebnisse wurden anhand einer Kontingenztabelle für die Häufigkeiten der 6 Kombinationen von Merkmalsausprägungen für X und Y dargestellt. Mit den Werten aus der Kontingenztabelle wurde dann der _X²-Koeffizient berechnet. Der für diesen Koeffizienten berechnete Wert kann nicht größer als 28 sein

Die Stichprobenfunktion X quer liefert eine unverzerrte Schätzung für den Erwartungswert µ.

Die Varianz der Zufallsvariablen X1, X2, ... ,Xn ist kleiner als die Varianz der Stichprobenfunktion Xquer.

Die Stichprobenfunktion S² liefert eine unverzerrte Schätzung für die Varianz o².

Man kann den Erwartungswert µ der zugrunde gelegten Normalverteilung nicht
nur anhand des Stichprobenmittelwerts schätzen (Punktschätzung), sondern auch
anhand eines Konfidenzintervalls (Intervallschätzung). Letzteres ist ein Intervall, das stets so groß gewählt wird, dass es den unbekannten Parameter µenthält

) Schätzt man µanhand eines Konfidenzintervalls, so hängt der Abstand der Intervallgrenzen, d. h. die Länge des Konfidenzintervalls, davon ab, wie groß der Stichprobenumfang n ist. Je größer n gewählt wird, desto kürzer wird das Konfidenzintervall.

Wird bei obigem Test für die Prüfgröße ein Wert ermittelt, der den Wert des 0; 99-Quantils der Standardnormalverteilung überschreitet, wird die Nullhypothese verworfen.

Wenn man bei obigem Test für die Prüfgröße den Wert z = -2; 3 errechnet, wird die Nullhyothese verworfen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, beträgt bei obigem Test 0; 01

Wenn µ > µ0 gilt, ist ein Fehler 2. Art möglich, nicht aber ein Fehler 1. Art

Die Gütefunktion G(µ) des Tests hat an jeder Stelle µ mit ≠µ0 einen Wert, der größer als 0; 01 ist.

Aus der Validität einer Messung folgt stets auch deren Reliabilität.

Die Validität charakterisiert, inwieweit ein Messinstrument bei wiederholter Messung die gleichen Messwerte liefert

) Eine Grundgesamtheit von N = 5:000 (5 Tausend) Personen wird bezüglich eines sozioökonomischen Merkmals in vier Teilpopulationen zerlegt (Schichtung der Grundgesamtheit). Die Teilgesamtheiten umfassen N1 = 1:200, N2 = 1:300, N3 = 1:600 und N4 = 900 Personen. Aus den Teilpopulationen werden dann in der zweiten Verfahrensstufe Zufallsstichproben des Umfangs n1 = 36, n2 = 39, n3 = 56 resp. n4 = 27 gezogen. Das damit praktizierte Auswahlverfahren repräsentiert eine geschichtete Stichprobenauswahl mit proportionaler Schichtung

Die Klumpenauswahl ist eine zufallsgesteuerte Auswahlprozedur, bei der sich die Zufallsauswahl auf Teilmengen einer Grundgesamtheit bezieht, nicht auf die Untersuchungseinheiten selbst

Bei einem Quasi-Experiment mit Personen erfolgt die Zuordnung der Teilnehmer zu einer Versuchs- und einer Kontrollgruppe nicht auf der Basis einer Zufallsauswahl

Wenn man auf der Basis eines Datensatzes (x1; y1), (x2; y2), ... , (xn; yn) für zwei Merkmale X und Y für den Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson den Wert 0 errechnet, beinhaltet dies, dass zwischen den beiden Merkmalen kein Zusammenhang vorliegt.

Wenn r = -1 ist, bedeutet dies, dass die Datenpaare (x1; y1); :::; (xn; yn) alle auf einer fallenden Geraden liegen.

Wenn für den Datensatz (x1; y1), (x2; y2), ... , (xn; yn) für X und Y ein Wert r
errechnet wird, dessen Absolutbetrag nahe bei 1 liegt (z. B. zwischen 0; 9 und 1; 0)
bedeutet dies, dass zwischen den beiden Merkmalen eine ausgeprägte sachlogische Verbindung besteht

Der Rangkorrelationskoeffizient rSP lässt sich nicht auf nominalskalierte Merkmale anwenden.

Quadriert man den Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson, erhält man ein Maß für die Anpassungsgüte einer Regressionsgeraden an einen Datensatz (x1; y1), (x2; y2), ... , (xn; yn).

Der Stichprobenmittelwert Xquer repräsentiert eine unverzerrte Schätzung für den Erwartungswert µ

Falls die obige Aussage A zutrifft, gilt auch, dass der mittlere quadratische Fehler des Stichprobenmittelwerts Xquer und die Varianz von Xquer übereinstimmen

Wenn man die quadrierten Abweichungen (X1 - Xquer)², (X²- Xquer)², ... , (Xn - Xquer)² aufsummiert und die resultierende Summe durch n

Die Standardabweichung von Xquer geht auf die Hälfte des Ausgangswertes zurück, wenn man n verdoppelt

Man kann den Erwartungswert µ auch durch Angabe eines Konfidenzintervalls
schätzen. Letzteres ist ein Intervall, das stets so groß gewählt wird, dass es den unbekannten Parameter µ enthält

Wird bei obigem Test für die Prüfgröße der Wert 2; 31 ermittelt, erfolgt keine Ablehnung der Nullhypothese

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, beträgt bei obigem Test für alle µ mit µ ≤ µ0 stets 0; 01

Wenn µ > µ0 gilt, ist ein Fehler 2. Art möglich, nicht aber ein Fehler 1. Art.

Wenn man den Stichprobenumfang n erhöht, wird für alle Werte µ an denen ein Fehler 2. Art auftreten kann, die Eintrittswahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art reduziert.

Wenn für den unbekannten Parameter µ die Ungleichung µ > µ0 gilt, beinhaltet die Ablehnung von H0 den Eintritt eines Fehlers 2. Art.

) Wenn man den Erwartungswert µanhand des Stichprobenmittelwerts Xquer schätzt, hat man mit Xquer eine Schätzfunktion, deren Varianz auf ein Viertel des ursprünglichen Werts zurückgeht, wenn man den Stichprobenumfang verdoppelt

Die Stichprobenfunktion S2 liefert eine verzerrte Schätzung für die Varianz o².

Der mittlere quadratische Fehler (MSE) und die Varianz der Schätzfunktion Xquer stimmen überein.

) Man kann den Erwartungswert µ eines normalverteilten Merkmals auch durch Angabe eines Konfidenzintervalls schätzen. Ein solches Intervall ist so konstruiert, dass es µ einschließt

Die Grenzen von Konfidenzintervallen sind zufallsabhängig.

Wird bei obigem Test für die Prüfgröße ein Wert ermittelt, der den Wert des 0; 95-Quantils der Standardnormalverteilung überschreitet, wird die Nullhypothese verworfen.

Wird bei obigem Test für die Prüfgröße ein Wert ermittelt, der kleiner als -1; 96 ist, wird die Nullhypothese verworfen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, beträgt bei obigem Test 0;05

Wenn µ > µ0 gilt, ist ein Fehler 2. Art möglich, nicht aber ein Fehler 1. Art

Die Gütefunktion G(µ) des Tests hat an der Stelle µ =µo den Wert 0; 05.

Wird bei obigem Test für die Prüfgröße Z der Wert z = -1; 58 ermittelt, ist die Nullhypothese abzulehnen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, hat im Falle µ = µ0 den Wert 0; 05

Wenn µ > µ0 gilt, besitzt die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, einen Wert unterhalb von 0;05.

Wenn man den Stichprobenumfang n erhöht, wird für alle Werte µ, an denen ein
Fehler 2. Art auftreten kann, die Eintrittswahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art reduziert.

Wenn für den unbekannten Parameter µ die Ungleichung µ < µ0 gilt, beinhaltet die Ablehnung von H0 den Eintritt eines Fehlers 2. Art.