Докажите сочетательной свойство умножения матриц: А*(В*С) = (А*В)*С

Докажите распределительное свойство умножения матриц относительно суммы:
(А+В)*С = А*С + В*С

Докажите, что если D - квадратная диагональная матрица порядка n, и все числа на главной диагонали D равны d, то A*D = D*A = d*A.

Докажите свойство умножения блочных матриц: если в каждом блоке (i,k) матрицы А число столбцов равно числу строк в каждом блоке (k, j) матрицы В, то блок (i,j) матрицы А*В равен сумме по всем k A(i,k) * B(k,j)

Докажите, что разложение определителя по первой строке равно разложению определителя по любой другой строке.

Доказать, что разложение определителя по столбцу эквивалентно разложению его по строке.

Докажите формулу определителя n-го порядка через элементы матрицы.

Докажите теорему Лапласа

Доказать, что если в матрице поменять местами две строки/столбца, то определитель поменяет знак на противоположный.

Доказать линейное свойство определителя

Доказать, что определитель с двумя одинаковыми строками равен 0.

Доказать, что умножение строки/столбца определителя на число равносильно умножению всего определителя на это число.

Докажите, что определитель с нулевой строкой/столбцом равен 0.

Докажите, что если элементы двух строк/столбцов пропорциональны, то определитель равен 0.

Докажите, что если к строке/столбцу определителя прибывить другую строку/столбец определителя, умноженную на число, то величины определителя не изменится.

Доказать, что сумма произведение элементов какой-либо строки/столбца на алгебраические дополнения любой другой строки/столбца равна 0.

Доказать, что определитель верхне/нижнедиагональной матрицы относительно побочной диагонали равен произведению элементов на побочной диагонали, умноженному на (-1)^((n*(n+1))/2)

Доказать, что определитель порядка 2n вида
|A 0|
|B C|
равен |A|*|C|

Доказать, что определитель порядка 2n вида
|A B|
|C 0|
равен (-1)^n * |B|*|C|

Докажите, что определитель Вандермонда равен произведению по i от 1 до n-1 [произведение по j от i до n [ (xj-xi) ]]

Докажите, что определитель суммы двух квадратных матриц равен сумме всех возможных определителей, которые могут получаться, если взять некоторое число строк из первой матрицы, а оставшиеся строки - из второй матрицы.

Докажите, что определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

Докажите, что если левая обратная и правая обратная матрицы существуют, то они равны.

Докажите, что для того, чтобы у матрицы А существовали левая и правая обратная матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель А был отличен от нуля.

Докажите, что для того, чтобы строки X1, ..., Xn были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк были линейной комбинацией всех других.

Докажите теорему о базисном миноре: строки, вхожящие в БМ, являются линейной независимыми, а любая другая строка является линейной комбинацией строк БМ. Тоже самое справедливо для столбцов.

Докажите, что для того, чтобы определитель порядка n был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки/столбцы были линейно зависимы.