Линейные пространства - определения, теоремы и свойства

Линейное пространство

Аксиомы линейного пространства

Теорема о количестве нулевых элементов и противоположных в линейном пространстве

Теорема о выражении нулевого и противоположного элемента через произведение произвольного элемента на число

Понятие линейной комбинации элементов л.п.

Линейная (не)зависимость элементов л.п.

Взаимосвязь линейной зависимости элементов и взаимной линейной комбинации.

Базис и координаты. Количество способов разложить элемент по базису.

Теорема о координатах суммы двух элементов л.п. и о координатах произведения элемента л.п. на вещественное число.

Размерность линейного пространства.

Теорема о базисе в n-мерном пространстве.

Теорема о связи размерности пространства и количестве элементов в базисе.

Понятие изоморфизма л.п.

Теорема о связи размерности двух пространств и их изоморфности.

Линейное подпространство

Линейная оболочка

Теорема о размерности линейной оболочки.

Определение ранга матрицы через понятие линейной зависимости.

Пересечение подпространств

Сумма подпространств

Теорема о размерности суммы и пересечения двух подпространств.

Прямая сумма подпространств

Теорема о достаточном условии прямой суммы линейных подпространств

Матрица перехода от одного базиса к другому

Обратимость матрицы перехода

Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат