Números complejos

INTRODUCCIÓN (hasta los complejos)

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• Números naturales
• Los primeros números utilizados por el ser humano fueron los números naturales N. Éstos son los números {1,2,3,4,5....}. En este conjunto de números era posible realizar la operación suma, por ejemplo 2+4= 6.
• Los números naturales se pueden representar en una recta, en la imagen también se representa el número cero.

Números enteros

• Sin embargo la resta no era posible realizarla en todos los casos, por ejemplo 2-5 = ??. Entonces surgieron los números enteros Z que incluían los números negativos además de los números naturales N. Esto es {....-3, -2, -1, 0, 1 ,2, 4...}
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Números racionales

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• Con los números enteros era posible realizar las operaciones suma, resta y multiplicación. Pero la división no era posible realizarla en todos los casos, de esta manera aparecieron los números racionales Q, como por ejemplo 1/2, 3/4.... Estos números se pueden expresar como un cociente de dos números enteros.

Números irracionales

• Los números que no se pueden expresar como un cociente de dos números enteros se llamaron números irracionales I, estos surgieron al realizar raíces cuadradas, por ejemplo √2 o √5. También son irracionales los números transcedentes, por ejemplo π o e.
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Números reales

• Los números reales R contienen a los números racionales Q más los irracionales I (R=Q+I). Si representamos estos números en la recta real, esta se llena con los números racionales e irracionales.
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Los números complejos

• DEFINICIÓN
• La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos.
• Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer. números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario.
• "Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemáticos griegos como Herón de Alejandría, comenzaron a esbozar el concepto de números complejos, ante las dificultades que representaba construir un pirámide, sin embargo no fue sino hasta el siglo XVI cuando se buscaban fórmulas para obtener las raíces exactas de los polinomios de grado 2 y 3"

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• Con los números reales no era posible extraer la raíces cuadradas de un número negativo. Así la ecuación x2=-1 no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para resolver el problema los matemáticos introdujeron el número imaginario i=√-1.
• Así las soluciones a la ecuación x2=-1 son √-1 y - √-1 es decir i y -i.
• De esta manera se establecieron los números complejos como aquellos que se pueden representar de la forma a + bi donde a y b son dos números reales.
• Los números complejos expresados en la forma a+bi se dice que están en forma binómica, también se pueden representar en forma polar (esto se verá más adelante en una lección posterior).
• Geométricamente un número complejo se puede representar como un punto o un vector en el plano xy. En el eje x se representa la parte real del número complejo y en el eje y la parte imaginaria. En la siguiente imagen se puede observar la representación de los números complejos.
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