Elektrodynamik - Formeln (Gauß'sches Einheitensystem)

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Coulomb-Kraft	$\vec F_{12}=\frac{q_1q_2}{\|\vec r_1-\vec r_2\|^2}\vec e_{12}$
Elektrisches Feld	$\vec E = \frac{\vec F}q$ $=\displaystyle\int_V \rho(\vec r')\frac{\vec r - \vec r'}{\|\vec r - \vec r'\|^3}dV'$
Biot-Savart-Gesetz	$d\vec B=\frac 1 c \frac{Id\vec l \times \vec r}{r^3}$
Kontinuitätsgleichung	$\nabla\cdot\vec j+\partial_t\rho=0$
Lorentz-Kraftdichte	$\vec f_L=\rho\vec E+\frac 1 c(\vec j \times \vec B)$
Maxwell Gleichungen in differentieller Form	$\nabla\cdot \vec E = 4\pi\rho$ $\nabla\cdot\vec B=0$ $\nabla\times\vec E=-\frac 1 c \partial_t \vec B$ $\nabla\times\vec B = \frac{4\pi}c \vec j+\frac 1 c \partial_t \vec E$
Energiesatz der Elektrodynamik	$w_{em}=\frac 1{8\pi}(E^2+B^2)$ $S=\frac c{4\pi}(\vec E \times\vec B)$ $\frac d{dt}\left(W_V^{mech}+W_V^{em}\right) = -\oint_{\partial V}\vec S\cdot d\vec f$
Impulssatz der Elektrodynamik	$\vec g^{em}=\frac 1{c^2}\vec S$ $T_{ik}=\frac 1{4\pi}\left[E_iE_k+B_iB_k-\frac 1 2\delta_{ik}(E^2+B^2)\right]$ $\frac{d}{dt}\left(\vec P_V^{mech}+\vec P_V^{em}\right)=\oint_{\partial V}T_{ik}df_i$
Energie in einer Ladungsanordnung	$W=\frac 1{8\pi}\int d^3r\|\vec E(\vec r)\|^2$ $=\frac 1 2\int d^3r\rho(\vec r)\phi(\vec r)+\frac 1{8\pi}\int_{\partial V}d\vec f\cdot \phi\nabla\phi$ Wobei der Randterm bei natürlichen Randbedingungen verschwindet
Oberflächenladungsdichte auf einem Leiter	$\sigma=\frac1{4\pi}E_n$
Potentiale zum Lösen der Maxwell-Gleichungen	$\vec B = \vec \nabla\times\vec A$ $\vec E=-\nabla\phi-\frac 1 c\partial_t\vec A$
Eichtransformation	$\phi'(t,\vec r)=\phi(t,\vec r)+\frac 1 c\partial_t\Lambda(t,\vec r)$ $\vec A(t,\vec r)=\vec A(t,\vec r)-\nabla\Lambda(t\vec r)$
Was sind Lorenz und Coulomb-Eichung?	Lorenz: $\nabla\cdot\vec A + \frac 1 c\partial_t\phi=0$ Coulomb: $\nabla\cdot\vec A=0$
Berechnung des elektrostatischen Potentials bei natürlichen Randbedingungen:	$\phi(\vec r)=\displaystyle\int\frac{\rho(\vec r')}{\|\vec r-\vec r'\|}dV'$
Was definiert eine Green'sche Funktion zum Laplace-Operator?	$\Delta G(\vec r,\vec r')=4\pi\delta(\vec r-\vec r')$
Wie kann man das Potential bei Kenntnis einer Green'schen Funktion berechnen?	$\phi(\vec r)=\int_V dV'G(\vec r,\vec r')\rho(\vec r')+\frac 1 {4\pi}\oint_{\partial V}d\vec f'\left[G(\vec r,\vec r')\nabla'\phi(\vec r')-\phi(\vec r')\nabla'G(\vec r,\vec r')\right]$
Wie berechnet man bei mehreren Leitern die Kapazitätskoeffizienten?	$\phi(\vec r)=\sum_j \phi_jF_j(\vec r)$ $Q_i=\sum_j\left[-\frac 1{4\pi}\oint_{\partial V_i}df\partial_n F_j\right]\phi_j$ Der Ausdruck in der eckigen Klammer wird dann als $C_{ij}$ bezeichnet.
Wie kann man die Lösung der Laplace-Gleichung als unendliche Reihe darstellen?	$\phi=\displaystyle\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l\left[A_{lm}r^l+B_{lm}\frac 1{r^{l+1}}\right]Y_{lm}(\vartheta,\varphi)$
Wie berechnet man das Dipolmoment?	$\vec p:=\int\rho(\vec r')\vec r' dV'$
Wie berechnet man das Quadrupolmoment?	$Q_{ij}:=\int\rho(\vec r')(3x_i'x_j'-{r'}^2\delta_{ij})dV'$
Wie sieht das Potential bei einer Multipolentwicklung aus?	$\phi(\vec r)=\frac q r + \frac{\vec r\cdot\vec p}{r^3}+\frac 1 2 \frac{\vec r^TQ\vec r}{r^5}$

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