4172577
| Question | Answer |
| Co je to grupoid? | Dvojice neprázdná množina, binární operace (uzavřená na M) (M, o) |
| Pologrupa | Grupoid = uzavřenost + asociativita |
| Monoid | Pologrupa = uzavřenost = asociativita + neutrální prvek |
| Grupa | Monoid = asociativita = uzavřenost = neutrální prvek + inverzní prvky |
| Abelovská grupa | = komutativní grupa |
| Co platí o neutrálním prvku v monoidu? | V každém monoidu existuje právě jeden neutrální prvek |
| Co platí o inverzních prvcích? | V grupě má každý prvek právě jeden inverzní prvek |
| Jde poznat z Cayleyho tabulky, že jde o grupu? | Ne. Neumíme snadno poznat asociativitu. |
| Když Cayleyho tabulka tvoří latinský čtverec, jedná se o grupu? | Ne, platí to jen naopak – grupa tvoří lat. čtverec. |
| Podgrupa | Buď G = (M, ◦) grupa. Podgrupou grupy G nazveme libovolnou dvojici H = (N, ◦) takovou, že – N ⊂ M, – H = (N, ◦) je grupa |
| Vlastní a triviální podgrupy | triviální: grupa obsahující pouze neutrální prvek: ({e}, ◦) a grupa samotná: G = (M, ◦). ostatní podgrupy jsou vlastní |
| Je průnik podgrup také podgrupa? | Ano |
| Řád (pod)grupy | Řád (pod)grupy G = (M, ◦) nazýváme počet prvků množiny M. Je-li M nekonečná množina, je i řád nekonečný. Podle řádu rozlišujeme konečné a nekonečné grupy. |
| Lagrangeova věta | Buď H podgrupa konečné grupy G. Potom řád H dělí řád G. (implikace! neplatí oběma směry!) |
| Kdy je k generátor aditivní grupy? | Aditivní grupa modulo n je rovna <k> tehdy, a jen tehdy, když k a n jsou nesoudělná čísla. |
| Jaký řád má multiplikativné grupa mod p, kde p je prvočíslo? | p-1 |
| Cyklická grupa | Grupa G = (M, ◦) se nazývá cyklická, pokud existuje prvek a ∈ M takový, že <a>= G. Tomuto prvku se říká generátor cyklické grupy. |
| Malá Fermatova věta | V grupě G = (M, ◦) řádu n platí pro všechny prvky a ∈ M, že \( a^n = e\) , kde e je neutrální prvek. |
| Co platí pro generátory v cyklické grupě (G, ·) řádu n? | Je-li (G, ·) cyklická grupa řádu n a a nějaký její generátor, potom \(a^k\) je také generátor tehdy, a jen tehdy, když k a n jsou nesoudělná (tj. gcd(k, n) = 1). |
| Kolik generátorů je v cyklické grupě řádu n? | \( \phi (n)\) \(Z^{x}_p\) je cyklická grupa řádu p-1 a má tedy \( \phi (p-1)\) generátorů |
| Je pogrupa cyklické grupy vždy cyklická? | Ano |
| Homomorfismus & izomorfismus | Buďte G = (M, ◦G ) a H = (N, ◦H) dva grupoidy. Zobrazení ϕ : M → N nazveme homomorfizmem G do H jestliže pro všechna x, y ∈ M platí ϕ(x ◦G y) = ϕ(x) ◦H ϕ(y). Je-li navíc ϕ bijektivní, říkáme že ϕ je izomorfizmus. |
| Co platí o homomorfismu grupy do grupoidu? | Buď ϕ homomorfizmus grupy G = (M, ◦G ) do grupoidu H = (N, ◦H). Potom ϕ(G) = (ϕ(M), ◦H) je grupa. |
| Musí se neutrální prvek jedné grupy zobrazit homomorfismem na neutrální prvek té druhé? | Ano |
| Jsou libovolné dvě cyklické grupy izomorfní? | Ne, musejí mít stejný řád. Nebo být obě nekonečné. |
| Kleinova grupa | grupa (Z2 × Z2, ◦), kde Z2 × Z2 = {(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)} a ◦ je sčítání modulo 2 po složkách: např. (1, 0) ◦ (1, 1) = (0, 1). Není cyklická! Není izomorfní se Z4! |
| Symetrická grupa | Množina všech permutací s operací skládání. Libovolná konečná grupa je izomorfní s nějakou grupou permutací. |
| Okruh | Buďte M neprázdná množina a + a · binární operace. Řekneme, že R = (M, +, ·) je okruh, pokud platí: (M, +) je Abelovská grupa, (M, ·) je pologrupa, platí (levý a pravý) distributivní zákon: \((∀a, b, c ∈ M) (a(b + c) = ab + ac ∧ (b + c)a = ba + ca).\) |
| Dělitelé nuly | Buď R = (M, +, ·) okruh. Libovolné nenulové prvky a, b ∈ M takové, že \(a · b = 0,\) se nazývají dělitelé nuly. |
| Obor integrity | Komutativní okruh bez dělitelů nuly |
| Těleso (field) | Okruh T = (M, +, ·) se nazývá těleso, jestliže \((M \ {0}, ·)\) je grupa. Tuto grupu nazýváme multiplikativní grupou tělesa T. |
| Homomorfismus a izomorfismus těles | Zobrazení h z okruhu (resp. tělesa) R1 do okruhu (resp. tělesa) R2 je homomorfismus, jestliže je h homomorfismem příslušných aditivních a multiplikativních grupoidů (resp. grup). Je-li navíc h bijekce (prosté a „na“), jedná se o izomorfismus |
| Počet generátorů v multiplikativní grupě modulo p? | ϕ(p − 1) |
| Může mít multiplikativní grupa modulo prvočíslo netriviální/vlastní grupy? | Ano, řád je totiž ϕ(p − 1) Nechť k < p dělí p − 1, pak v \(Z^{×}_p\) existuje podgrupa řádu k a obsahuje právě ty prvky, pro které \(a^k = 1\). |
| Co musíme vyhodit z množiny {1,2,3...n}, aby s operací násobení tvořila multiplikativní grupu modulo n? | všechny dělitele n ale i čísla soudělná pro celé číslo n > 1 tvoří množina \({k ∈ N | 1 ≤ k < n, gcd(k, n) = 1}\) s operací násobení modulo n grupu. Tuto grupu značíme \(Z^{×}_n\). |
| Kdy je grupa \(Z^{×}_n\) cyklická? | když je n rovno \(2, 4, p^k\) nebo \(2p^k\) pro nějaké liché prvočíslo p a celé k > 0. |
| Existují tělesa libovolné řádu? | Existují pouze konečná tělesa řádu \(p^n\), kde p je prvočíslo a n je přirozené číslo. Prvočíslo p se nazývá charakteristika. Navíc platí, že všechna tělesa řádu \(p^n\) jsou navzájem izomorfní. |
| Ireducibilní polynom | Buď P(x) ∈ K[x] stupně alespoň 1. Řekneme, že P(x) je ireducibilní nad K, jestliže pro každé dva polynomy A(x) a B(x) z K[x] platí A(x) · B(x) = P(x) ⇒ (stupeň A(x) = 0 ∨ stupeň B(x) = 0) |
| Aditivní grupa tělesa \(GF(p^n)\) | Má řád \(p^n\) Neutrální prvek je 00 · · · 0 = \(0^n\) Inverze k prvku \(b_1b_2 · · · b_n je (p − b_1)(p − b_2)· · ·(p − b_n)\). Není cyklická, dokonce pro každý prvek x platí, že p × x = x. |
| Multiplikativní grupa tělesa \(GF(p^n)\) | Má řád \(p^n − 1\). Neutrální prvek je \(00 · · · 1 = 0^{n−1}1.\) Inverzi ke každému prvku umíme nalézt pomocí EEA v polynomiálním čase. Je vždy cyklická |
Want to create your own Flashcards for free with GoConqr? Learn more.