7119082
Description
Flashcards by Sergei Fomin, updated more than 1 year ago
|
Created by Sergei Fomin
about 8 years ago
|
|
| Question | Answer |
| Докажите сочетательной свойство умножения матриц: А*(В*С) = (А*В)*С | Расписать по определению |
| Докажите распределительное свойство умножения матриц относительно суммы: (А+В)*С = А*С + В*С | Расписать по определению |
| Докажите, что если D - квадратная диагональная матрица порядка n, и все числа на главной диагонали D равны d, то A*D = D*A = d*A. | Расписать по определению |
| Докажите свойство умножения блочных матриц: если в каждом блоке (i,k) матрицы А число столбцов равно числу строк в каждом блоке (k, j) матрицы В, то блок (i,j) матрицы А*В равен сумме по всем k A(i,k) * B(k,j) | Сначала доказать, что у матрицы А столбцы разбиты также, как в матрице В строки. Отталкиваясь от этого расписать элемент i,j в блоке C(a,b) |
| Докажите, что разложение определителя по первой строке равно разложению определителя по любой другой строке. | По индукции. Разложение по первой строке разложить по i-й строке, разложение по i-й разложить по первой. Собрать коэффициенты при минорах порядка (n-2) и доказать, что в обоих случаях они равны. |
| Доказать, что разложение определителя по столбцу эквивалентно разложению его по строке. | По индукции. Доказать равенство разложения по 1-й строке равенству разложения по 1-му столбцу. Для этого разложение по столбцу разложить по строке, разложение по строке разложить по столбцу. Собрать коэффициенты при минорах порядка (n-2) и доказать их равенство. |
| Докажите формулу определителя n-го порядка через элементы матрицы. | По индукции. Разложить по первому столбцу, воспользоваться предположением индукции о справедливости формулы (n-1) порядка и доказать, что разложение по столбцу равно формуле определителя n-го порядка через элементы матрицы. |
| Докажите теорему Лапласа | Провести индукцию по числу задействованных строк k. Разложить по (k-1) строкам, получившиеся миноры - по k-й строке. Собрать коэффициенты при минорах порядка k и доказать, что при разложении по k строкам получаются те же коэффициенты. |
| Доказать, что если в матрице поменять местами две строки/столбца, то определитель поменяет знак на противоположный. | Доказать сначала для определителя порядка 2, затем для порядка n разложением по двум строкам/столбцам, которые поменяли местами. Заметить, что строки играют роль только в минорах 1-го типа второго порядка, а эти миноры меняют знак. Таким образом, знак всего разложения меняется. |
| Доказать линейное свойство определителя | Разложить по i-й строке. |
| Доказать, что определитель с двумя одинаковыми строками равен 0. | Воспользоваться свойством перестановки строк. |
| Доказать, что умножение строки/столбца определителя на число равносильно умножению всего определителя на это число. | Частный случай линейного свойства определителя. |
| Докажите, что определитель с нулевой строкой/столбцом равен 0. | Разложением по нулевой строке. |
| Докажите, что если элементы двух строк/столбцов пропорциональны, то определитель равен 0. | Доказыватся вынесением коэффициента и получением определителя с двумя одинаковыми строками/столбцами. |
| Докажите, что если к строке/столбцу определителя прибывить другую строку/столбец определителя, умноженную на число, то величины определителя не изменится. | Доказывается разбиением определителя на два. Один совпадает с исходным, второй имеет две одинаковые строки/столбца и равен 0. |
| Доказать, что сумма произведение элементов какой-либо строки/столбца на алгебраические дополнения любой другой строки/столбца равна 0. | Воспользоваться тем, что алгебраические дополнения при разложении по i-й строке не зависят от эоементов этой строки, поэтому мы можем заменить эту строку на любую другую. Но если мы заменяем i-ю строку на j-ю строку, получаем нулевой определитель; разложение же его по i-й строке это и есть произведение алгебраических дополнений элементво i-й строки на элементы j-й строки. |
| Доказать, что определитель верхне/нижнедиагональной матрицы относительно побочной диагонали равен произведению элементов на побочной диагонали, умноженному на (-1)^((n*(n+1))/2) | Расписать по определению и развернуть до конца. Собрать сумму в степени -1 как сумму арифметической прогрессии чисел от 1 до n. |
| Доказать, что определитель порядка 2n вида |A 0| |B C| равен |A|*|C| | Разложить по первым n строкам и убедиться, что единственное ненулевое слагаемое - это |A|*|C| |
| Доказать, что определитель порядка 2n вида |A B| |C 0| равен (-1)^n * |B|*|C| | Разложить по последним n строкам. Доказать, что четность показателя в степени -1 равна четности n. |
| Докажите, что определитель Вандермонда равен произведению по i от 1 до n-1 [произведение по j от i до n [ (xj-xi) ]] | Вычесть первый столбец из всех остальных; разложить по первой строке; вычесть из всех строк первую строку, умноженную на x1; вынести множитель из каждого столбца; продолжить итеративно. |
| Докажите, что определитель суммы двух квадратных матриц равен сумме всех возможных определителей, которые могут получаться, если взять некоторое число строк из первой матрицы, а оставшиеся строки - из второй матрицы. | Разложить каждую строку по линейному свойству определителя. |
| Докажите, что определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц. | Рассмотреть определители | A C | |-1E 0| и | A 0 | |-1E B| Доказать, что один равен |C|, второй |A|*|B| и они оба равны. |
| Докажите, что если левая обратная и правая обратная матрицы существуют, то они равны. | C = C*E = C*(A*B) = (C*A)*B = E*B = B |
| Докажите, что для того, чтобы у матрицы А существовали левая и правая обратная матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель А был отличен от нуля. | Необходимость доказывается из |A|*|B| = 1 Достаточность доказывается прямым определением обратной матрицы через транспонирвоанную матрицу алгебраических дополнений, деленную на det A. |
| Докажите, что для того, чтобы строки X1, ..., Xn были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк были линейной комбинацией всех других. | Доказывается по определению линейной зависимости и линейной комбинации. |
| Докажите теорему о базисном миноре: строки, вхожящие в БМ, являются линейной независимыми, а любая другая строка является линейной комбинацией строк БМ. Тоже самое справедливо для столбцов. | Линейная независимость строк БМ доказывается из того факта, что при наличии линейно зависимых строк определитель БМ был бы равен 0, что противоречит определению БМ. Линейная комбинация доказывается определителем порядка (r+1). |
| Докажите, что для того, чтобы определитель порядка n был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки/столбцы были линейно зависимы. | Необходимость: если определитель равен 0, значит, r < n. Следовательно, любая строка является линейной комбинацией других (т.е. строки линейно зависимы). Достаточность: если строки линейно зависимы, то можно сравнять одну из них с нулем, не изменив величины определителя. |
Want to create your own Flashcards for free with GoConqr? Learn more.