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Description
Mind Map by EDWIN ARRIETA , updated more than 1 year ago
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Created by EDWIN ARRIETA
over 5 years ago
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NORMA Y PRODUCTO INTERNO
- Algunas nociones geometricas en R2 y en R3
pueden definirse a partir del producto escalar. La
definición que sigue es una generalizacion del
producto escalar a otros espacios vectoriales.
- Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto
interno sobre V es una funcion Φ : V × V → R (respectivamente C)
que cumple:
- Nota. Si Φ es un producto interno,
escribiremos Φ(v, w) = (v, w)
- Nota. Si Φ es un producto interno,
escribiremos Φ(v, w) = (v, w)
- Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto
interno sobre V es una funcion Φ : V × V → R (respectivamente C)
que cumple:
- A un espacio vectorial real (respectivamente
complejo) provisto de un producto interno se
lo llama un espacio euclıdeo
(respectivamente espacio unitario).
- De las condiciones i) y ii) de la definicion de producto interno se deduce
que si Φ : V × V → R (respectivamente C) es un producto interno, para
cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V vale:
- Ejemplos: Se puede comprobar que las funciones Φ
definidas a continuacion son productos internos sobre los
espacios vectoriales correspondientes:
- Dado un espacio vectorial V es posible definir distintos
productos internos sobre V . En el ejemplo siguiente
veremos una familia de productos internos en R a la 2
- Ejemplos: Se puede comprobar que las funciones Φ
definidas a continuacion son productos internos sobre los
espacios vectoriales correspondientes:
- De las condiciones i) y ii) de la definicion de producto interno se deduce
que si Φ : V × V → R (respectivamente C) es un producto interno, para
cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V vale:
- La nocion que sigue generaliza la de longitud de un
vector en R2 o R3
- Sea (V,(,)) un espacio vectorial sobre R (respectivamente C)
con producto interno y sea v ∈ V .
- (Propiedades de la norma.) Sea (V,(,)) un espacio
vectorial con producto interno.
- Demostraci´on. Las propiedades i) e ii) se
deducen inmediatamente de la definici´on de
norma.
- Entonces, teniendo en cuenta que Re(v,w) ≤ |(v,w)| y aplicando la desigualdad de
Cauchy-Schwartz, resulta que
- Entonces, teniendo en cuenta que Re(v,w) ≤ |(v,w)| y aplicando la desigualdad de
Cauchy-Schwartz, resulta que
- Demostraci´on. Las propiedades i) e ii) se
deducen inmediatamente de la definici´on de
norma.
- (Propiedades de la norma.) Sea (V,(,)) un espacio
vectorial con producto interno.
- Sea (V,(,)) un espacio vectorial sobre R (respectivamente C)
con producto interno y sea v ∈ V .
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