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MATRICES

Cálculo numérico, en la determinación de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.
Se utilizan como instrumentos muy útiles en todas sus disciplinas: cálculo, estadística, geometría, lógica, criptografía, álgebra, probabilidad
Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
CLASES DE MATRICES :
1. MATRICES CUADRADAS: Es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n × n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
2. Matriz identidad Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., a nn . La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
3. Matrices triangulares Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero.
4. Matrices diagonales Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., d nn ).
5. Traspuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A T .
6. Matrices simétricas Se dice que una matriz real es simétrica, si A T = A; y que es antisimétrica, si A T = -A.
7. Matrices ortogonales Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA T = A T A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A -1 = A T .
8. Matriz normal: Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA T = A T A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Suma y restas de matrices: Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 × 2 y otra de 3 × 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Multiplicacion y Division de matriz : cada entrada en la matriz producto es el producto punto de un renglón en la primera matriz por una columna en la segunda matriz.
DETERMINANTES. A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o Una tabla ordenada n × n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.
DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: = a11 Así, el determinante de una matriz 1 × 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.
DETERMINANTES DE ORDEN TRES :Consideremos una matriz 3 × 3 arbitraria A = (ai j). El determinante de A se define como sigue: a12a21a33 - a32a23a11 Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son: 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero. 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo. 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero. 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número. 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le altera.

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