Mapa Mental Matriz inversa y Matriz transpuesta

Matriz Inversa
1. Una matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta. Es decir, una matriz inversa es la multiplicación del inverso del determinante por la matriz adjunta traspuesta.
  1. Las dos líneas paralelas alrededor de X en el denominador indican que es el determinante de la matriz X. Cuando una matriz cuadrada tiene matriz inversa decimos que es una matriz regular.
    1. Ejemplo práctico Encuentra la matriz inversa de la matriz V.
      1. Para resolver este ejemplo podemos aplicar la fórmula o primero calcular el determinante y luego sustituirlo.
2. Requisitos
  1. Para encontrar la matriz inversa de una matriz de orden n necesitamos cumplir con los siguientes requisitos: La matriz tiene que ser una matriz cuadrada. El número de filas (n) tiene que ser el mismo que el número de columnas (m). Es decir, el orden de la matriz tiene que ser n dado que n=m.
    1. El determinante debe ser distinto de cero (0). El determinante de la matriz debe ser distinto de cero (0) dado que participa en la fórmula como denominador. Si el denominador fuera un cero (0) tendríamos una indeterminación. Si el denominador (ad – bc) = 0, es decir, el determinante de la matriz X es igual a cero (0), entonces la matriz X no tiene matriz inversa.
      1. Fórmula
        Fórmula con determinante
        Primero calculamos el determinante de la matriz V y luego lo sustituimos en la fórmula.
        Entonces, obtenemos que el determinante de la matriz V es distinto de cero (0) y podemos decir que la matriz V sí tiene matriz inversa.
        Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula o primero calculando el determinante y luego sustituirlo. El orden de la matriz inversa es el mismo que el orden de la matriz original. En este caso, tendremos el mismo número de filas n y de columnas m tanto en la matriz V y V-1.
3. Propiedad
  1. Una matriz cuadrada X de orden n tendrá una matriz inversa X de orden n, X-1, tal que cumple que
    1. El orden de los elementos de la multiplicación no es relevante, es decir, la multiplicación de una matriz cuadrada cualquiera por su matriz inversa siempre resultará en la matriz identidad del mismo orden. En este caso, el orden de la matriz X es 2. Entonces, podemos reescribir la propiedad anterior como:
Matriz Transpuesta
1. Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz. En otras palabras, la matriz traspuesta es la acción de seleccionar las filas de la matriz original y reescribirlas como columnas en la nueva matriz e invertir el proceso para las columnas.
  1. Generalmente cuando cambiamos las filas por columnas y las columnas por filas lo indicamos añadiendo un superíndice T o un apóstrofe en el nombre de la matriz original. Si añadimos el superíndice T, deberemos tener presente que estamos trabajando con matrices y que el superíndice no es ningún exponente.
    1. Fórmula de una matriz traspuesta nxm Dada una matriz Z cualquiera con n filas y m columnas podemos construir la matriz traspuesta, ZT, que tendrá m filas y n columnas.
      1. Trasposición de una matriz cuadrada
        Dependiendo de la tipología de la matriz, el orden de la matriz también cambiará cuando hagamos su traspuesta.
2. Propiedades
  1. La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.
    1. La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas.
      1. El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al producto de la constante h por la matriz traspuesta.
        El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al producto de la multiplicación de matrices traspuestas.
3. Aplicaciones
  1. Las matrices traspuestas están más presentes de lo que creemos. En econometría encontramos trasposiciones cuando expresamos las matrices en forma cuadrática. Asimismo, la fórmula del estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) en forma matricial:
    1. Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.

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