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Description
Mind Map by Maria Fernanda Puentes Vargas, updated more than 1 year ago
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Created by Maria Fernanda Puentes Vargas
over 2 years ago
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Sistemas de ecuaciones lineales, rectas
y planos
- Definición:
- Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a
partir de un conjunto no vacío, una operación interna
(llamada suma, definida para los elementos del conjunto)
y una operación externa (llamada producto por un escalar,
definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático),
con 8 propiedades fundamentales.
- Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a
partir de un conjunto no vacío, una operación interna
(llamada suma, definida para los elementos del conjunto)
y una operación externa (llamada producto por un escalar,
definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático),
con 8 propiedades fundamentales.
- Una combinación lineal de vectores se produce
cuando se puede expresar un vector en función lineal
de otros vectores los cuales son linealmente
independientes.
- Requisitos para la combinación lineal de vectores La combinación
lineal de vectores debe cumplir dos requisitos: Que un vector
pueda expresarse como combinación lineal de otros vectores.
Que estos otros vectores sean linealmente independientes entre
sí.
- Como puedes ver en la
representación gráfica
anterior, el vector w se puede
obtener a partir de los
vectores u y v haciendo
operaciones vectoriales. Por lo
tanto, el vector w es una
combinación lineal de los
otros dos vectores.
- Como puedes ver en la
representación gráfica
anterior, el vector w se puede
obtener a partir de los
vectores u y v haciendo
operaciones vectoriales. Por lo
tanto, el vector w es una
combinación lineal de los
otros dos vectores.
- Requisitos para la combinación lineal de vectores La combinación
lineal de vectores debe cumplir dos requisitos: Que un vector
pueda expresarse como combinación lineal de otros vectores.
Que estos otros vectores sean linealmente independientes entre
sí.
- Propiedades de los espacios vectoriales
- A partir de los axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan
«naturales»: Propiedad 1 0 u = 0 V Propiedad 2 α 0 V = 0 V Propiedad 3 ( – α ) u = – ( α u ) En particular, para α
= 1 : ( – 1 ) u = – u Propiedad 4 α u = 0 V ⇒ α = 0 ∨ u = 0 V Veamos cómo puede demostrarse esta última
propiedad: Si α = 0 , se cumple la proposición. Si α ≠ 0 , podemos multiplicar por 1 α : α u = 0 V ⇒ 1 α α u = 1 α
0 V ⇒ u = 0 V
- A partir de los axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan
«naturales»: Propiedad 1 0 u = 0 V Propiedad 2 α 0 V = 0 V Propiedad 3 ( – α ) u = – ( α u ) En particular, para α
= 1 : ( – 1 ) u = – u Propiedad 4 α u = 0 V ⇒ α = 0 ∨ u = 0 V Veamos cómo puede demostrarse esta última
propiedad: Si α = 0 , se cumple la proposición. Si α ≠ 0 , podemos multiplicar por 1 α : α u = 0 V ⇒ 1 α α u = 1 α
0 V ⇒ u = 0 V
- Espacio generado por un conjunto de
vectores es el mínimo subespacio que los
tiene (y que a la vez tiene a todas las
combinaciones lineales de ellos).
Geometricamente, los espacios generados
describen muchos de los objetos conocidos
como rectas y planos.
- Un conjunto de vectores se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos
que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. Es decir,
- 1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede
expresar como combinación lineal de los demás. También se cumple el recíproco: si un vector es
combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2 Dos
vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3 Dos vectores del plano
u=(u1,u2) y v=(v1,v2) son linealmente dependientes si sus componentes son
proporcionales.
- 1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede
expresar como combinación lineal de los demás. También se cumple el recíproco: si un vector es
combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2 Dos
vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3 Dos vectores del plano
u=(u1,u2) y v=(v1,v2) son linealmente dependientes si sus componentes son
proporcionales.
- Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de
dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases. 1.
Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un
conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite
expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
- La dimensión es el máximo número de vectores independientes que
podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el
máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier
sistema generador de dicho espacio. conjunto de vectores de dicho
espacio.
- 1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos
dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el
único de dimensión 0. 2. La dimensión de un subespacio en ℜn , coincide con el
número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2
parámetros= plano...) 3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces
dim S ≤ dim T. Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos
espacios han de coincidir. 4. El rango de una familia de vectores, es igual a la
dimensión del subespacio que generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto
subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. (Si un cierto
conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)
- 1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos
dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el
único de dimensión 0. 2. La dimensión de un subespacio en ℜn , coincide con el
número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2
parámetros= plano...) 3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces
dim S ≤ dim T. Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos
espacios han de coincidir. 4. El rango de una familia de vectores, es igual a la
dimensión del subespacio que generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto
subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. (Si un cierto
conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)
- La dimensión es el máximo número de vectores independientes que
podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el
máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier
sistema generador de dicho espacio. conjunto de vectores de dicho
espacio.
- Espacio nulo y nulidad de una matriz NA se denomina el
espacio nulo de A y V(A) = dim NA se denomina nulidad de A. Si
NA contiene solo al vector cero, entonces V(A) = 0
- Sea una matriz de m x n entonces la imagen de A, denotada por
Im(A), está dada por Im(A) = { Y ϵ Rm : AX = Y para alguna X ϵ Rm }
- Sea A una matriz de m x n entonces la imagen de A Im(A) es un
subespacio de Rm
- Rango de una matriz Sea A una matriz de m x n entonces el rango de A,
denotado por P(A) está dado por P(A) = dim Im(A)
- Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz Si A es una matriz
de m x n, sean { r1, r2, …, rm} los renglones de A y { c1, c2, …, cn} las columnas de A.
entonces se define: RA = espacio de los renglones de A= gen{ r1, r2, …, rm} Y CA =
espacio de las columnas de A = gen { c1, c2, …, cn}
- Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz Si A es una matriz
de m x n, sean { r1, r2, …, rm} los renglones de A y { c1, c2, …, cn} las columnas de A.
entonces se define: RA = espacio de los renglones de A= gen{ r1, r2, …, rm} Y CA =
espacio de las columnas de A = gen { c1, c2, …, cn}
- Rango de una matriz Sea A una matriz de m x n entonces el rango de A,
denotado por P(A) está dado por P(A) = dim Im(A)
- Sea A una matriz de m x n entonces la imagen de A Im(A) es un
subespacio de Rm
- Sea una matriz de m x n entonces la imagen de A, denotada por
Im(A), está dada por Im(A) = { Y ϵ Rm : AX = Y para alguna X ϵ Rm }
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