Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos

Definición:
1. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
Una combinación lineal de vectores se produce cuando se puede expresar un vector en función lineal de otros vectores los cuales son linealmente independientes.
1. Requisitos para la combinación lineal de vectores La combinación lineal de vectores debe cumplir dos requisitos: Que un vector pueda expresarse como combinación lineal de otros vectores. Que estos otros vectores sean linealmente independientes entre sí.
  1. Como puedes ver en la representación gráfica anterior, el vector w se puede obtener a partir de los vectores u y v haciendo operaciones vectoriales. Por lo tanto, el vector w es una combinación lineal de los otros dos vectores.
Propiedades de los espacios vectoriales
1. A partir de los axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan «naturales»: Propiedad 1 0 u = 0 V Propiedad 2 α 0 V = 0 V Propiedad 3 ( – α ) u = – ( α u ) En particular, para α = 1 : ( – 1 ) u = – u Propiedad 4 α u = 0 V ⇒ α = 0 ∨ u = 0 V Veamos cómo puede demostrarse esta última propiedad: Si α = 0 , se cumple la proposición. Si α ≠ 0 , podemos multiplicar por 1 α : α u = 0 V ⇒ 1 α α u = 1 α 0 V ⇒ u = 0 V
Espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio que los tiene (y que a la vez tiene a todas las combinaciones lineales de ellos). Geometricamente, los espacios generados describen muchos de los objetos conocidos como rectas y planos.
Un conjunto de vectores se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. Es decir,
1. 1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. También se cumple el recíproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. 3 Dos vectores del plano u=(u1,u2) y v=(v1,v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.
Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
1. La dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. conjunto de vectores de dicho espacio.
  1. 1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0. 2. La dimensión de un subespacio en ℜn , coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...) 3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T. Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir. 4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. (Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)
Espacio nulo y nulidad de una matriz NA se denomina el espacio nulo de A y V(A) = dim NA se denomina nulidad de A. Si NA contiene solo al vector cero, entonces V(A) = 0
1. Sea una matriz de m x n entonces la imagen de A, denotada por Im(A), está dada por Im(A) = { Y ϵ Rm : AX = Y para alguna X ϵ Rm }
  1. Sea A una matriz de m x n entonces la imagen de A Im(A) es un subespacio de Rm
    1. Rango de una matriz Sea A una matriz de m x n entonces el rango de A, denotado por P(A) está dado por P(A) = dim Im(A)
      1. Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz Si A es una matriz de m x n, sean { r1, r2, …, rm} los renglones de A y { c1, c2, …, cn} las columnas de A. entonces se define: RA = espacio de los renglones de A= gen{ r1, r2, …, rm} Y CA = espacio de las columnas de A = gen { c1, c2, …, cn}

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