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Mind Map by FREY ANDELFO MENDOZA GAFARO, updated more than 1 year ago
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Created by FREY ANDELFO MENDOZA GAFARO
about 8 years ago
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LOS NUMEROS REALES
- En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números
racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque,
trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar
mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales
aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el
siglo XVIII.1
- HISTORIA
- Los egipcios dieron origen por primera
vez a las fracciones comunes
alrededor del año 1000 a. C.; alrededor
del 500 a. C. un grupo de matemáticos
griegos liderados por Pitágoras se dio
cuenta de la necesidad de los números
irracionales. Los números negativos
fueron ideados por matemáticos
indios cerca del 600, posiblemente
reinventados en China poco después,
pero no se utilizaron en Europa hasta
el siglo XVII, si bien a finales del XVIII
Leonhard Euler descartó las
soluciones negativas de las ecuaciones
porque las consideraba irreales. En
ese siglo, en el cálculo se utilizaban
números reales sin una definición
precisa, cosa que finalmente sucedió
con la definición rigurosa hecha por
Georg Cantor en 1871. En realidad, el
estudio riguroso de la construcción
total de los números reales exige tener
amplios antecedentes de teoría de
conjuntos y lógica matemática. Fue
lograda la construcción y
sistematización de los números reales
en el siglo XIX por dos grandes
matemáticos europeos utili
- Los egipcios dieron origen por primera
vez a las fracciones comunes
alrededor del año 1000 a. C.; alrededor
del 500 a. C. un grupo de matemáticos
griegos liderados por Pitágoras se dio
cuenta de la necesidad de los números
irracionales. Los números negativos
fueron ideados por matemáticos
indios cerca del 600, posiblemente
reinventados en China poco después,
pero no se utilizaron en Europa hasta
el siglo XVII, si bien a finales del XVIII
Leonhard Euler descartó las
soluciones negativas de las ecuaciones
porque las consideraba irreales. En
ese siglo, en el cálculo se utilizaban
números reales sin una definición
precisa, cosa que finalmente sucedió
con la definición rigurosa hecha por
Georg Cantor en 1871. En realidad, el
estudio riguroso de la construcción
total de los números reales exige tener
amplios antecedentes de teoría de
conjuntos y lógica matemática. Fue
lograda la construcción y
sistematización de los números reales
en el siglo XIX por dos grandes
matemáticos europeos utili
- NOTACION
- Los números reales se expresan con decimales que tienen una
secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como
por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan
con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que
significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se
consideran sin importancia. Las medidas en las ciencias físicas son
siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso
escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números
racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un
denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde
íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis
matemático los números reales son objeto principal de estudio.
Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo
de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis
matemático, mientras que los números enteros lo son de las
matemáticas discretas, en las que está au
- Los números reales se expresan con decimales que tienen una
secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como
por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan
con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que
significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se
consideran sin importancia. Las medidas en las ciencias físicas son
siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso
escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números
racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un
denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde
íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis
matemático los números reales son objeto principal de estudio.
Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo
de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis
matemático, mientras que los números enteros lo son de las
matemáticas discretas, en las que está au
- TIPO DE NUMEROS REALES
- RACIONALES E IRRACIONALES
- Un número real puede ser un número racional o un
número irracional. Los números racionales son
aquellos que pueden expresarse como el cociente de
dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2,
mientras que los irracionales son todos los demás.
Los números racionales también pueden describirse
como aquellos cuya representación decimal es
eventualmente periódica
- Un número real puede ser un número racional o un
número irracional. Los números racionales son
aquellos que pueden expresarse como el cociente de
dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2,
mientras que los irracionales son todos los demás.
Los números racionales también pueden describirse
como aquellos cuya representación decimal es
eventualmente periódica
- ALGEBRAICOS Y TRANSCENDENTES
- Otra forma de clasificar los números reales es en
algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si
existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene
por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente,
todos los números racionales son algebraicos: si
{\displaystyle {\frac {p}{q}}} \frac{p}{q} es un número
racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la
ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números
algebraicos son racionales.
- Otra forma de clasificar los números reales es en
algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si
existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene
por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente,
todos los números racionales son algebraicos: si
{\displaystyle {\frac {p}{q}}} \frac{p}{q} es un número
racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la
ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números
algebraicos son racionales.
- COMPUTABLES E IRREDUCTIBLES
- Un número real se dice computable si tiene
una complejidad de Kolmogórov finita, es
decir, si puede escribirse un programa
informático de extensión finita que genere los
dígitos de dicho número. Si un número real
no es computable se dice irreductible. Una
definición de número irreductible es: El
conjunto de números reales computables se
designa por . Obviamente los racionales y los
algebraicos son números computables. De
hecho se tiene la siguiente inclusión: Además
se tiene que todos estos conjuntos son
numerables:
- Un número real se dice computable si tiene
una complejidad de Kolmogórov finita, es
decir, si puede escribirse un programa
informático de extensión finita que genere los
dígitos de dicho número. Si un número real
no es computable se dice irreductible. Una
definición de número irreductible es: El
conjunto de números reales computables se
designa por . Obviamente los racionales y los
algebraicos son números computables. De
hecho se tiene la siguiente inclusión: Además
se tiene que todos estos conjuntos son
numerables:
- RACIONALES E IRRACIONALES
- HISTORIA
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