Definición de espacio vectorial

Annotations:

• Bibliografía: Grossman S, S.I., Álgebra Lineal Sexta Edición, 2007.

1. Es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas:
   1. suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
      1. Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como
         1. “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.
      2. antes de continuar mencionaremos dos asuntos de importancia
         1. 1. debemos tener en cuenta cuando usamos R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios
         2. cuando nos referimos a un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales.
      3. Axiomas de un espacio vectorial.
         1. 1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.
            1. 2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).
               1. 3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.
                  1. 4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.
                     1. 5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
                        1. 6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
                           1. 7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay
                              1. 8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
                                 1. 9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.
                                    1. 10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.