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Resolucion de ecuaciones cuadráticas,
usando el metodo de factorización
Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática.
La Propiedad Cero de la Multiplicación
La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.
Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0.
La ecuación 5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0.
5a2 + 15a = 0
El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación.
5a(a + 3) = 0
a es factor común un de a2 y 3a.
Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5a o (a + 3), tiene que ser igual a cero.
5a = 0 a + 3 = 0
Igualar cada factor a cero
a + 3 – 3 = 0 – 3
a = 0 a = -3
a = 0 o a = -3
Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cada una.
Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.
r2 – 3r – 2r + 6 = 0
Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6.
r(r – 3) – 2(r – 3) = 0
Sacar los factores comunes de cada grupo
r – 3 = 0
r – 2 = 0
Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0
Solución
r = 3 o r = 2
Las raíces de la ecuación original son 3 o 2
Cuando usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación para resolver una ecuación cuadrática, necesitamos asegurarnos que la ecuación este igualada a cero. Algunas veces esto requerirá de mover los términos para que quede 0 en un lado de la ecuación.
¡Y es hasta aquí a donde podemos llegar! Esta nueva ecuación nos dice que los dos factores, (4x + 1) y (3x + 2), son iguales a 7 cuando son multiplicados.
Es decir, ¡no podemos usar la Propiedad Cero de la Multiplicación cuando no hay un cero en el otro lado de la ecuación!
Podemos factorizar el trinomio en lado izquierdo y luego usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para encontrar los valores de x.
