ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΜΕΡΟΣ Α

Έστω δύο μεταβλητά μεγέθη x, y που συνδέονται με τη σχέση y=f(x), όπου f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0.
Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς x, στο σημείο x0;

Ποια σχέση συνδέει την επιτάχυνση α(t0) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0, με την ταχύτητα υ(t) ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t0;

Έστω Κ(x) το κόστος παραγωγής, Ε(x) η είσπραξη και Ρ(x) το κέρδος από την πώληση x μονάδων παραγωγής ενός προϊόντος. Τι ονομάζουμε:
1) οριακό κόστος στο x0;
2) οριακή είσπραξη στο x0;
3) οριακό κέρδος στο x0;

Διατυπώστε το Θεώρημα Rolle του διαφορικού λογισμού.

Γεωμετρική ερμηνεία του Θ. Rolle.

Διατυπώστε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού (Θ.Μ.Τ.).

Γεωμετρική ερμηνεία του Θ.Μ.Τ.
του διαφορικού λογισμού

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και
f ′( x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ .

Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f ′(x) = g′(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c, τέτοια ώστε, για κάθε x∈∆ να ισχύει f(x) = g(x) + c.

Η πρόταση: "Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα Δ1 και Δ2 και
f ′( x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x της ένωσης Δ1UΔ2, τότε η f είναι σταθερή στην ένωση Δ1UΔ2" είναι αληθής ή ψευδής;
Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι:
● Αν f ′(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε
όλο το Δ.
● Αν f ′(x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Η πρόταση «αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ» είναι αληθής ή ψευδής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x0∈A τοπικό μέγιστο;

Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x0∈A τοπικό ελάχιστο;

Η πρόταση «αν η συνάρτηση f έχει τοπικά ακρότατα, τότε θα έχει και ολικά ακρότατα» είναι αληθής ή ψευδής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας

Ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο.
Συμφωνείτε ή διαφωνείτε;
Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα.
Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ);

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι
f ′(x0) = 0.

Τι ονομάζουμε κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f;

Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ;

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.
i) Αν f ′(x)>0 στο (α,x0) και f ′(x)<0 στο (x0,β), τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο της f.
ii) Αν f ′(x)<0 στο (α,x0) και f ′(x)>0 στο (x0,β), τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.
iii) Aν η f ′(x) διατηρεί πρόσημο στο (α,x0)U(x0,β), τότε το f(x0) δεν είναι το-πικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β).

Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε η συνάρτηση f θα λέμε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα άνω (κάτω) ή είναι κυρτή (κοίλη) στο διάστημα Δ;

Σχέση κυρτότητας, με γραφική παράσταση Cf και εφαπτομένης της.

Κριτήριο δεύτερης παραγώγου για την κυρτότητα.

Η πρόταση «Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή (κοίλη) και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, τότε f ″(x)>0 (f ″(x)<0) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ" είναι ψευδής ή αληθής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0.
Πότε το σημείο Α(x0,f(x0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f;

Τι γνωρίζετε για την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης f, στο σημείο καμπής;

Παραγωγισιμότητα της f ΄ και σημείο καμπής.

H πρόταση «Αν f ″(x0)=0, τότε το σημείο Α(x0,f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f» είναι αληθής ή ψευδής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Κριτήριο σημείου καμπής με δεύτερη παράγωγο.

Πότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f;

Πότε η ευθεία y=ℓ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ).

Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ).