Τι λέμε συνάρτηση \( f \) με πεδίο ορισμού το σύνολο \( A \) ;

Τι λέμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο A ;

Τι εννοούμε όταν λέμε ότι « Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο Β»;

Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \( f \) με πεδίο ορισμού το σύνολο A ;

Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης
f ( x) = αx + β

Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης
\[ f ( x ) = α x^{2} \; , \; α \neq 0 \]

Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης
\[ f ( x ) = α x^{3} \; , \; α \neq 0 \]

Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης
\[ f ( x ) = \dfrac{α}{x} \; , \; α \neq 0 \]

Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης
\[ f ( x ) = \sqrt{x} \]

...

Πότε δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες ;

Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης , αφαίρεσης , γινομένου και πηλίκου δύο συναρτήσεων f,g ;

Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης f με τη συνάρτηση g ;

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ ;

Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέμε ότι παρουσιάζει στο \( x_{0} \in A \) ολικό μέγιστο και πότε ολικό
ελάχιστο ;

Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέγεται 1-1 ;

Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A αντιστρέφεται και πώς ;

Ποια πρόταση συνδέει το όριο της f στο \( x_{0} \) και τα πλευρικά όρια της f στο \( x_{0} \) ;

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο \( x_{0} \) μια ιδιότητα Ρ ;

Να γράψετε τις ιδιότητες των ορίων στο \( x_{0} \) .

Δίνεται πολυώνυμο \( P(x) = α_{ν} x^{ν} + α_{ν-1} x^{ν-1} + \cdots + α_{1} x + α_{0} \) και \( x_{0} \in \mathbb{R} \) .
Να αποδείξετε ότι
\[ \lim_{x \rightarrow x_{0} } P(x) = P(x_{0}) \]

Έστω η ρητή συνάρτηση \( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \), όπου P(x) , Q(x) πολυώνυμα του x και \( x_{0} \in \mathbb{R} \) με \( Q(x_{0}) \neq 0 \).
Να αποδείξετε ότι
\[ \lim_{x \rightarrow x_{0} } \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{P(x_{0})}{Q(x_{0})} \]

Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης \( f \circ g \) στο \( x_{0} \) ;

Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο \( x_{0} \).

Να γράψετε τις ιδιότητες για το όριο στο άπειρο.

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο \( x_{0} \) του πεδίου ορισμού της;

Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων.

Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης.

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε στο κλειστό διάστημα [α, β] ;

Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.

Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης – ελάχιστης τιμής.

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο \( x_{0} \) του πεδίου ορισμού της;

Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της \( C_{f} \) στο σημείο της \( A(x_{0} , f(x_{0})) \);

Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο \( x_{0} \), τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται:
α) Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α
β) Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α ,β)
γ) Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [α ,β]

Τι ονομάζουμε πρώτη, δεύτερη και γενικά νιοστή παράγωγο μίας συνάρτησης f;

Να αποδείξετε ότι :
Αν f(x) = c , με \( c \in \mathbb{R} \), τότε
\[ f'(x) = 0 \]

Να αποδείξετε ότι :
Αν f(x) = x τότε
\[ f'(x) = 1 \]

Να αποδείξετε ότι :
Αν \( f(x) = x^{v} \), με \( ν \in \mathbb{N} - \{ 0, 1 \} \) τότε
\[ f'(x) = v \cdot x^{v-1} \]

Να αποδείξετε ότι :
Αν \( f(x) = \sqrt{x} \) με \( x \geq 0 \) τότε
\[ f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \; , \; x > 0 \]

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο \( x_{0} \), τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0} \) και ισχύει
\[ (f+g)' (x_{0}) = f'(x_{0}) + g'(x_{0}) \]

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο \( x_{0} \), τότε η συνάρτηση \( f \cdot g \) είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0} \) και ισχύει
\[ (f \cdot g)' (x_{0}) = f'(x_{0}) \cdot g(x_{0})+ f(x_{0}) \cdot g'(x_{0}) \]