1.2. Algunos subconjuntos importantes de N.

1.2.1. Números Pares.

Conjunto ordenado con inﬁnitos elementos que corresponden a los Números Naturales múltiplos de dos.

Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ..., ∞}

Matemáticamente se puede expresar así:

P es un Número Par ⇐ ⇒ P = 2n con n ∈ N

* Recuerda que hay una multiplicación entre el 2 y n.
* ∈ : Perteneciente a...
* N : Número Natural.
* n : Significa que pertenece a los Números Naturales.

Nota: O sea cualquier Número Natural multiplicado por dos es igual a un Número Par.

1.2.2. Números Impares.

Conjunto ordenado con inﬁnitos elementos los que corresponden a todos los Números Naturales que no son Pares.

Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., ∞}

Matemáticamente se puede expresar así:

I es un Número Impar ⇐ ⇒ I = 2n + 1 ó I = 2n − 1 con n ∈ N

En base a los dos subconjuntos vistos anteriormente podemos clasiﬁcar todo Número Natural en Par o Impar. Al operar con estos números obtenemos las siguientes conclusiones:

* Par + Par = Par

Esto se debe a que cada Número Par lo podemos expresar de la forma 2n, donde n ∈ N , luego tomamos dos Números Pares arbitrarios y los sumamos:

2n + 2m = 2(n + m)

Nota: Recuerda que en el caso de la derecha, el 2 al tener un paréntesis, multiplicará cada elemento y luego se suman. Y dará el mismo resultado de la izquierda.

Como n + m ∈ N también, se cumple lo propuesto en el enunciado. Por ejemplo: 10 + 22 = 32, donde 32 = 2 · (16)

* Impar + Impar = Par

Analizamos de manera completamente análoga a la proposición anterior, tomamos dos Números Impares arbitrarios y luego los sumamos:

*Análoga: Significa comparación o relación entre varias cosas, razones o conceptos; comparar o relacionar dos o más seres u objetos a través de la razón; señalando características generales y particulares comunes que permiten justificar la existencia de una propiedad en uno, a partir la existencia de dicha propiedad en los otros.

(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2[(n + m) + 1]

* Para hacer un Ejemplo reemplazaré el n=4 y el m=3

(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2[(n + m) + 1]
(2*4 + 1) + (2*3 + 1) = 2*4 + 2*3 + 2 = 2[(4 + 3) + 1]
(8 + 1) + (6 + 1) = 8 + 6 + 2 = 2[7 + 1]
9 + 7 = 16 = 14 + 2
16 = 16 = 16

Nótese que si tomamos cada Número Impar pero ahora de la forma 2n − 1, el resultado es exactamente el mismo.

Por ejemplo: 13 + 41 = 54, donde 54 = 2 · (27)

* Par + Impar = Impar

Tomamos un Número Par e Impar arbitrarios, 2n y 2m + 1, luego sumamos:

2n + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1

* Para hacer un Ejemplo reemplazaré el n=4 y el m=3

2n + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1
2*4 + (2*3 + 1) = 2*4 + 2*3 + 1 = 2(4 + 3) + 1
8 + (6 + 1) = 8 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1
8 + 7 = 15 = 15
15 = 15 = 15

Claramente corresponde a un Número Impar.

Por ejemplo: 68 + 9 = 77, donde 77 = 2 · (39) − 1

* Par · Par = Par

Tomamos los Números Pares 2n y 2m, ahora procedemos a multiplicarlos:

2n · 2m = 4 n · m

El número 4 es múltiplo de 2, por lo tanto todo Natural de la forma 4n es Par también, y el producto entre dos Números Naturales es al mismo tiempo un Número Natural. Se cumple lo propuesto.

Nota: "El Producto de" Significa lo mismo que multiplicar.

Por ejemplo: 4 · 14 = 56, donde 56 = 2 · (28)

* Impar · Impar = Impar

Volvemos a escoger dos Números Impares de manera arbitraria, 2n − 1 y 2m − 1, multiplicamos:

(2n − 1)(2m − 1) = 4n · m − 2n − 2m + 1 = 2[2n · m − (n + m)] + 1

Acá debe tener en cuenta que siempre se cumple que 2n·m−(n+m) > 0, por lo tanto tal expresión corresponde a un Número Natural.

Por ejemplo: 3 · 7 = 21, donde 21 = 2 · (10) + 1

*Par · Impar = Par

Tomamos el par 2n y el impar 2m + 1, multiplicamos ambos:

2n · (2m + 1) = 4n · m + 2n

Note que el resultado corresponde a la suma de dos Números Pares y ya demostramos anteriormente que tal suma también corresponde a un Número Par.

Por ejemplo: 8 · 11 = 88, donde 88 = 2 · (44)

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Resumen de Guía (de Matemáticas Nº1) para la prueba PSU. Contiene toda la información básica sobre los "Números Reales". Contiene Notas personales y ejemplos personales.