1.1.3.3 Linsengleichung und Abbildungsmaßstab
Mit der Linsengleichung, auch Abbildungsgleichung genannt, kann man die optische Abbildung einer idealen Linse berechnen. Für die Strahlenkonstruktion betrachten wir wichtigen Lichtstrahlen: Parallelstrahl, Brennpunktstrahl und Zentralstrahl bei einer dünnen (ideale) Linse. Setzen wir nun die Bildgröße B (Bild im Mikroskop oder auf dem Film) mit der Größe des Objekts G (betrachteter oder fotografierter Gegenstand) in Beziehung so erhalten wir den Abbildungsmaßstab (A). In Folge entspricht das Verhältnis von Abbildungsgröße zu Objektgröße dem Verhältnis von Bildweite (b) zu Gegenstandsweite (g). Wendet man den Strahlensatz der Geometrie auf den Brennpunktstrahl und die sich mit ihm im Brennpunkt kreuzende optische Achse an, so erhält man: B G = b f f oder b g = b f f Mit einer Division durch b und Umordnen der Gleichung erhält man folgende Beziehung die als Linsen- oder Abbildungsgleichung bezeichnet wird. 1 b  1 g = 1

1.1.3.4 Linsenfehler
Durch Abweichungen von den in den vorhergehenden Kapiteln dargestellten idealen optischen Abbildungen entsteht ein unscharfes oder verzerrtes Bild. Diese optischen Abbildungsfehler (Aberrationen) treten vor allem bei Einzellinsen mit sphärischen Oberflächen (Schnitt aus einer Kugel) auf und können durch spezielle Linsen-Konstruktionen behoben werden.

• sphärische Aberration
• chromatische Aberration
• Bildfeldwölbung
• Verzeichnung
• Koma sphärische Abberation

Sphärische Aberration (Öffnungsfehler) ist ein Abbildungsfehler der bei einfachen Linsen auftritt, die mit sphärischer Krümmung geschliffen sind. Lichtstrahlen, die durch die Randzonen der Linse gehen, werden stärker gebrochen und in einem der Linse näher liegendem Brennpunkt fokussiert als mittig einfallende Lichtstrahlen; die Folge ist ein leicht verschwommenes, unscharf wirkendes Bild.

Korrektur:
• Da Lichtstrahlen, die den Rand der Linse passieren, am meisten zur Unschärfe beitragen, kann der Fehler am einfachsten durch Abblenden der Randstrahlen verringert werden.
• Bei asymmetrisch sphärischen Linsen (Linsen mit zwei unterschiedlichen Krümmungsradien) kann durch die Orientierung der Linse die Sphärische Aberration gehoben werden. Bei „Linsen bester Form“ wird dabei die effektive Brechkraft gleichmäßig auf beide Grenzflächen verteilt, was zu einer nahezu fehlerfreien Abbildung führt.

Bei der Verwendung von asphärischen Linsen tritt dieser Fehler nicht auf, da bei ihnen der Radius der Oberflächen nicht konstant ist, sondern von der Mitte zum Rand hin abnimmt. Diese Variante zeigt die beste Korrektur der Sphärischen Aberration, sie ist jedoch auch mit Abstand die teuerste. chromatische Aberration

Die Chromatische Aberration (Farblängsfehler) tritt auf, weil am Rand der Linse Licht unterschiedlicher Wellenlänge verschieden stark gebrochen und wie bei einem Prisma in seine spektralen Bestandteile aufgespalten wird; dieser Effekt führt zu Farbsäumen am Bildrand.

Korrektur:
• Da wiederum der Rand der Linse den Großteil der Aberration verursacht, kann der Fehler wie bei der sphärischen Aberration am leichtesten durch die Verwendung einer Blende gehoben werden.
• Für hochwertigere Optiken wird die Korrektur durch die Kombination von zwei Linsen erreicht, welche zusammen einen so genannten Achromaten bilden. Die Linsen werden dabei so gewählt, dass die Linsengruppe für mehrere Wellenlängen annähernd die gleiche Brennweite besitzt.
Je nach verwendeten Glassorten können 2 oder 3 Farben zusammengeführt werden. Achromat: die Linsen und Glassorten sind so gewählt, dass der rote und der blaugrüne Spektralteil zusammenfällen

Bei der Bildfeldwölbung wird das Bild nicht eben auf einer Fläche, sondern gewölbte abgebildet. Man kann das Bild somit nicht an allen Punkten gleichzeitig scharf stellen; wenn man auf die Bildmitte scharfstellt, ist der Rand unscharf und umgekehrt. Dieser Fehler entsteht weil Punkte am Rand der Linse näher zur optischen Achse abgebildet werden als Mittige.

Korrektur:
• Durch die Verwendung einer Blende können die Randbereiche ausgeblendet werden; die Schärfentiefe wird dabei höher und die Bildfeldwölbung verliert an Bedeutung.
• Bei hochwertigen Optiken wird die Korrektur durch die Kombination mehrerer Linsen erreicht.

Unter Verzeichnung versteht man die nicht maßstabsgetreue Abbildung eines Objektes. Dieser Fehler entsteht durch einen veränderten Abbildungsmaßstab bei weit von der optischen Achse entfernten Bildpunkten. Daraus resultiert, dass Linien die nicht durch den Bildmittelpunkt verlaufen gekrümmt dargestellt werden. Je nachdem ob der Abbildungsmaßstab zum Bildrand hin zu- oder abnimmt erhält man eine kissen- oder tonnenförmige Verzeichnung. Besonders stark tritt dieser Fehler in der Fotografie bei extremen Tele- oder Weitwinkelojektiven (Fish-eye) auf.

Korrektur:
• Eine Korrektur ist nur mit speziellen Objektiven aus mehreren Linsen möglich, ein Abblenden der Randstrahlen zeigt in diesem Fall keinen Effekt.

Koma
Lichtstrahlen eines Objektes abseits der optischen Achse treffen als paralleles Strahlenbündel schräg auf die Linse und werden auch schräg wieder gebündelt. Bei unkorregierten Optiken kann es zu einer verzerrten Abbildung kommen. Das Objekt wird mit einem zum Rand hin verlaufenden Schweif abgebildet.

Durch Abblenden der Randstrahlen ist eine leichte Hebung des Fehler möglich, eine vollständige Korrektur kann nur durch speziell konstruierte Optiken erfolgen; diese aufwendigen Linsensysteme werden als aplanat bezeichnet.

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Mathematik Note on Optik - Zusammenfassung, created by Paula Raithel on 03/10/2016.