Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine Gleichung der Form ax² + bx = 0.
Dabei sind a,b,c Elemente der reellen Zahlen und a ist nicht gleich 0.

Was ist ein Linearfaktor?

linear = Variable hat die Hochzahl 1
Faktor = Multiplikation
Das bedeutet ein Linearfaktor ist eine Multiplikation die immer die Hochzahl 1 hat.

Was heißt faktorisieren?

In ein Produkt umwandeln.

Was heißt normieren?

Das vergleichbarmachen unterschiedlicher Datenreihen.

z.B.
ax² + bx + c = 0 /:a

x² + b:a x + c:a = 0

Wie sieht der Typ-1 aus? Wie wird dieser Typ am einfachsten gelöst?

1. Sonderfall: ax² = 0 (a ist nicht gleich 0, b = 0, c = 0)

z.B.
4x² = 0 /:4

x² = 0 / :Wurzel

x = 0

Anzahl der Lösungen: 1
Lösung: {0}

Wie sieht der Typ-2 aus? Wie wird dieser Typ am einfachsten gelöst?

2. Sonderfall: ax² ist nicht gleich bx = 0 (a,b sind nicht gleich 0, c = 0)

z.B.
2x² - 7x = 0 /Faktorisieren

x * (2x - 7) = 0 /Produkt-Null-Satz

x = 0 2x - 7 = 0 /+7

2x = 7 /:2

x = 3,5

L = {0; 3,5}

Wie sieht der Typ-3 aus? Wie wird er am einfachsten gelöst?

3. Sonderfall: ax² + c = 0 (a,c sind nicht gleich 0, b = 0)

z.B.
5x² - 125 = 0 /+125

5x² = 125 /:5

x² = 25 /:Wurzel

x = +- 5

L = {+- 5}

Anzahl der Lösungen: Wenn c negativ ist (-125) --> 2 Lösungen
Wenn c positiv ist (125) --> 0 Lösungen

Was muss beim Wurzelziehen beachtet werden?

Da es für x zwei Werte geben kann, muss beim Wurzelziehen das +- beachtet werden.

Wie lautet die kleine Lösungsformel? Wie viele Lösungen gibt es? Wie kann man bestimmen ob es 0/1/2 Lösungen gibt? Wann gibt es 0/1/2 Lösungen?

Gilt für eine quadratische Gleichung der Form: x² + px + q = 0

Kleine Lösungsformel: -p:2 +- Wurzel aus p:2² - q

Lösungen: Entweder 0 Lösungen, 1 Lösung oder 2 Lösungen
Damit man das herausfindet, muss man schauen ob die Diskriminante >0, <0 oder 0 ist.
Wenn D>0 ist, dann hat sie 2 Lösungen.
Wenn D=0 ist, dann hat sie 1 Lösung.
Wenn D<0 ist, dann hat sie 0 Lösungen.

Wie lautet der Produkt-Null-Satz?

Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

z.B.
4 * 0 = 0
165126384 * 0 = 0

Wie lautet der Satz von Vieta? Wie bestimmt man damit die Lösungen einer quadratischen Gleichung? Wie bestimmt man die Linearfaktoren?

Der Satz von Vieta zerlegt eine Summe oder Differenz in ein Produkt.

"Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung (x² + px + q = 0) ,so gilt:"

1) x² + px + q = (x-x1) * (x-x2) --> Summe in ein Produkt verwandelt!

2) x1 * x2 = q

3) x1 + x2 = -p

z.B.
x² + 7x - 8 = 0

(x + 8) * (x - 1) = 0

x1 = 8
x2 = -1

q= x1 * x2
-p = x1 + x2

Was ist ein Parameter? Wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen, wenn in der quadratischen Gleichung ein Parameter vorkommt?

Parameter: Ein Parameter ist eine Variable (unbestimmte Zahl), die in der Rechnung wie eine Konstante (gleichbleibende Zahl) behandelt wird.

Lösungen: Man bestimmt die Anzahl der Lösungen, indem man schaut, was bei der kleinen Lösungsformel unter der Wurzel steht. Wenn D > 0 = 2L, D < 0 = 0 L und wenn D = 0 = 1L.

z.B.
x² - ax - 2a² = 0

p= -a
q= -2a²

x = a/2 +- Wurzel aus (- a/2)² + 2a² = a/2 +- Wurzel aus a² + 8a²/4 = a/2 +- Wurzel aus 9a²/4 = a/2 +- 3a/2 --> x1 = 4a/2 = 2a
--> x2 = -2a/2 = -a

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5. Klasse Mathematik Note on Quadratische Geichungen, created by Elena Singer on 11/02/2017.