(OLD) Линейные операторы - определения, теоремы и свойства

Определение оператора, линейного оператора

Линейное преобразование.
Линейный функционал (линейная форма)

Действия над л.о., пространство л.о.

Множество L(V,V): тождественный оператор, произведение операторов

Свойства операторов из L(V,V)

Определение обратного оператора

Свойство Ax = 0 при существовании обратного оператора к A

Взаимно однозначный оператор: определение и прямое следствие

Связь обратимости оператора и его однозначности.

Ядро и образ линейного оператора

Связь размерности ядра и образа л.о. и его обратимости

Теорема о сумме размерностей ядра и образа линейного оператора

Теорема о разложении л.п. на прямую сумму ядра и образа некоторого л.о.

Ранг линейного оператора.
Необходимое и достаточное условие обратимости л.о. через его ранг.

Две теоремы о ранге произведения двух л.о.
Следствие

Матричная запись линейного оператора. Количество матриц данного л.о. в заданном базисе.

Теорема о связи ранга линейного оператора и ранга его матрицы

Преобразование матрицы л.о. при переходе к новому базису

Определитель л.о.

Характеристический многочлен и характеристическое уравнение оператора.

Инвариантное подпространство

Собственное значение и собственные векторы

Необходимое и достаточное условие того, чтобы число v являлось собственным числом заданного л.о.
Следствие: у каждого ли л.о. есть собственное значение?

Теорема о необходимом и достаточном условии диагональности матрицы л.о.

Теорема о достаточном условии линейной независимости собственных векторов.

Лемма об эквивалентности линейной формы скалярному произведению в евклидовом пространстве.

Определение полутаролинейной формы

Альтернативное представление полуторалинейной формы

Матрица полуторалинейной формы в заданном базисе

Взаимосвязь матрицы полуторалинейной формы и матрицы л.о. A в представлении этой формы:
B(x, y) = (Ax, y)

Взаимосвязь матрицы полуторалинейной формы и матрицы л.о. A в представлении этой формы:
B(x, y) = (x, Ay)

Сопряженный оператор. Количество сопряженных к данному операторов.

Свойства сопряженных операторов (5 штук)

Самосопряженный оператор

Разложение оператора на действительную и мнимую составляющие

Необходимое и достаточное условие самосопряженности произведения самосопряженных операторов AB

Теорема о скалярном произведении (Ax, x), если оператор A является самосопряженным

Теорема о собственных значениях самосопряженного линейного оператора.

Теорема о собственных векторах самосопряженного линейного оператора.

Норма линейного оператора. Неравенство, вытекающее из определения нормы.

Необходимое и достаточное условие самосопряженности линейного оператора

Лемма об представлении собственного значения самосопряженного линейного оператора

Теорема о наименьшем и наибольшем собственном значении самосопряженного линейного оператора

Каким свойством обладает множество всех собственных векторов самосопряженного оператора в евклидовом пространстве?

Минимаксная теорема

Проекторы на одномерные пространства, порожденное векторами базиса

Свойства проекторов: возведение в степень и произведение проекторов

Спектральное разложение самосопряженного линейного оператора

Теорема Гамильтона-Кэли

Аннулирующий многочлен. Следствие из теоремы Гамильтона-Кэли о количестве а.м. для самосопряженного л.о.

Минимальный многочлен