Conhecimentos Geométricos

O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida. Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2. O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (\(x\)) no comprimento e (\(y\)) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é \((5 – x) (3 – y)\). Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por

Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fiada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida \(R\) do raio adequado para a plataforma em termos da medida \(L\) do lado da base da estátua. Qual relação entre \(R\) e \(L\) o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a \(0,20 m\) acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a \(1,47 m\) acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte. Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é

Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir. Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?

O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido \(42\) quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em \(75\) horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de \(60\) centímetros, que representaria o percurso referido. [Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).] Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?

Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de \(2 400 cm^{3}\)?

Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo \(A\), que consome \(600 g/h\) (gramas por hora) de gás propano e cobre \(35 m^2\) de área, ou modelo \(B\), que consome \(750 g/h\) de gás propano e cobre \(45 m^2\) de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio). Avaliando-se todas as informações, serão necessários

Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo \(1 m\), conforme a figura a seguir. Nesta fiura, os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos \(AP\) e \(QC\) medem \(1/4\) da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da fiura, que custa \(R\$\, 30,00\) o (m^2\), e outro para a parte mais clara (regiões \(ABPDA\) e \(BCDQB\)), que custa \(R\$\, 50,00\) o \(m^2\). De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?

João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide. O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto \(A\) ao ponto \(E\), a seguir do ponto \(E\) ao ponto \(M\), e depois de \(M\) a \(C\). O desenho que Bruno deve fazer é

A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão fiando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de \(20\%\). [Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).] Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume \(V\) de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é

As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de \(15^{\circ}\) com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de \(114 m\) (a altura é indicada na figura como o segmento \(AB\)). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Utilizando \(0,26\) como valor aproximado para a tangente de \(15^{\circ}\) e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço

A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala \(1:25 000\), por um período de cinco dias. Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa?

Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo \(30 cm\), são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida \(R\). Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de \(10 cm\) entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura. Utilize \(1,7\) como aproximação para\(\sqrt{3}\). O valor de \(R\), em centímetros, é igual a

Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém \(48\) metros de comprimento. A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é

Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de \(1m\) de profundidade e volume igual a \(12m^3\), cuja base tem raio \(R\) e centro \(O\). Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será \(r\). Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo,\(4m^3\). Considere \(3\) como valor aproximado para \(\pi\). Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer \(r\), em metros, estará mais próximo de

Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto \(O\). A imagem que representa a nova figura é:

A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até \(20\%\) nas dimensões lineares de uma peça. [Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.] Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam \(30 cm\) e \(15 cm\). Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em \(20\%\). Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em

A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas. Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é

Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura: Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são

Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura: Considere que\( AC = \frac{7}{5} BD\) e que \(l\) é a medida de um dos lados da base da bandeja. Qual deve ser o menor valor da razão \(\frac{l}{BD}\) para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a \(6m\) e \(4m\). A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos \(AC\) e \(BD\) e a haste é representada pelo segmento \(EF\), todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta \(AB\). Os segmentos \(AD\) e \(BC\) representam cabos de aço que serão instalados. Qual deve ser o valor do comprimento da haste \(EF\)?

Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em \(\frac{1}{8}\), preservando suas espessuras a fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é

Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, como mostrado na figura. Considere um silo de \(2 m\) de altura, \(6 m\) de largura de topo e \(20 m\) de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem \(0,5 m\) a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, \(1\) tonelada de forragem ocupa \(2 m^{3}\) desse tipo de silo. [EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).] Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é

Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo?

Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente \(17\) palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente \(6\) palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características. A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é

Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a \(115 cm\). A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo. O maior valor possível para \(x\), em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é

Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura. Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam \(25\%\) maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em

O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala \(1 : 100\), foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a \(3 cm\), \(1 cm\) e \(2 cm\). O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será

Uma pessoa possui um espaço retangular de lados \(11,5 m\) e \(14 m\) no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de \(3\) metros entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é

Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre \(10 mm\) de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com \(5 mm\) de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para \(4 mm\), e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use \(3\) como valor aproximado para \(\pi\). A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a

A Figura 1 representa uma gravura retangular com \(8 m\) de comprimento e \(6 m\) de altura. Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com \(42 cm\) de comprimento e \(30 cm\) de altura, deixando livres \(3 cm\) em cada margem, conforme a Figura 2. A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1. [PRADO, A. C. Superinteressante, ed. 301, fev. 2012 (adaptado).] A escala da gravura reproduzida na folha de papel é

Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro \(d\) em centímetros, sem folga, dando-se \(5\) voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura. Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de \(8\) hectares de área. Sabe-se que \(1\) hectare corresponde a \(1\) hectômetro quadrado. Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina?

Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou \(8\) minutos para encher metade da parte de baixo. Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?

Diariamente, uma residência consome \(20\, 160 Wh\). Essa residência possui \(100\) células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões \(6 cm\times 8 cm\). Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, \(24 Wh\) por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo?