Els problemes de sumar i restar

Problemes, operacions i càlcul Importància dels contextos Classificació dels problemes Nivells de dificultat

Els problemes de sumar i restar

1. Problemes, operacions i càlcul

Un dels objectiu fonamentals de les matemàtiques escolars és ensenyar a resoldre problemes. En la resolució de problemes, els alumnes han de seleccionar les operacions adients i aplicar les tècniques de càlcul més útils. En l’aprenentatge de les matemàtiques, la resolució de problemes dóna sentit a les operacions i el càlcul. L’objectiu d’ensenyar les operacions ens portarà a fer una anàlisi dels problemes que els hi donen significat.

• Resoldre problemes

2. Importància dels contextos

“ Cuando se pregunta de manera aparentemente ingenua «qué es sumar» una de las respuestas más repetidas suele ser: «juntar y contar». Pues bien, si juntamos y contamos, lo que estamos evitando precisamente es sumar. La operación es una herramienta que permite anticiparse a la realidad en varios contextos. Precisamente cuando yo puedo sumar, por ejemplo, no necesito volver a contar una colección resultante de la unión de otras”.El significado de un concepto sólo se va a construir adecuadamente a partir de una variedad de contextos donde dicho concepto cobra sentido.Al identificar cómo un mismo conocimiento se presenta en múltiples situaciones, el niño podrá descontextualizar dicho conocimiento, objeto de aprendizaje, de las singularidades y particularidades de cada contexto donde puede ser utilizado. Es entonces cuando se puede afirmar que el niño ha realizado de manera significativa un aprendizaje.Observe este problema aditivo «Antonio tiene 6 años más que Manuel. Si Manuel tiene 15, ¿cuál es la edad de Antonio?». ¿Podemos decir que «juntamos» algo aunque tengamos que sumar para obtener el dato que nos demandan? 

3. Classificació dels problemes

A l’analitzar un problema es poden tenir en compte dos aspectes importants:L’estructura matemàtica o relacional de la solucióLes característiques de l’enunciat (lectura, estructura de les dades, etc.)Les situacions de referència dels conceptes de sumar i restar, segons Vergnaud (1990), constitueixen un únic camp conceptual, no es poden tractar aïlladament. Totes responen a algun tipus de problemes.Classificació dels problemes de sumar i restar segons Vergnaud:Tipus I: Composició de mesuresTipus II: Transformació de mesuresTipus III: Comparació de mesuresTipus IV: Composició de transformacionsTipus V: Transformació sobre estats relatiusTipus VI: Composició de estats relatius

I. Composició de mesures

Són problemes en el que dues mesures es combinen per obtenir una tercera Responen, per exemple, a la situació següent: "Tinc una bossa de caramels 13 de maduixa i 8 de llimona" Les situacions de composició de mesures donen lloc a dos subtipus de problemes, segons si preguntem pel total o per un dels components. En cada cas el procediment de resolució és diferent

II. Transformació de mesures

Situacions en les que es produeix un canvi, mitjançant una transformació (t) es passa d’un estat inicial (mi ) a un estat final (mf) Responen, per exemple, a la situació següent: "En una caixa hi ha 28 bombons. En mengem 12" Amb aquesta estructura es poden identificar sis subtipus de problemes, depenent de la transformació, augment o disminució (t+, t-) i la dada que es pregunti

fcb9845d-85c6-4f94-b3b0-1c27dd3901ac (image/png)

Nivells de dificultat en la resolució dels problemes anteriors Sense tenir en compte aspectes més generals, com ara la grandària dels nombres o la familiaritat del context, el grau de dificultat d’aquets problemes no és homogeni i no ve determinat per les operacions utilitzades.- El raonament dels problemes 1 i 4 és el més senzillSeguir l’ordre dels esdeveniments és suficient per trobar la solució Un bon aprenentatge de la addició i la substracció s’adquireix al considerar la suma i la resta com operacions inverses. - La complexitat de resolució dels problemes 2 i 5 (la incògnita en la transformació) és més gran.Per resoldre’ls n’hi ha prou amb buscar el complementari (el que cal afegir o treure), seguint l’evolució de la transformació. - La dificultat dels problemes 3 i 6 és encara més granLa solució és aplicar la transformació inversa de la proposada en l’enunciat del problema a l’estat inicial.

III. Comparació de mesures

Són problemes en que s’estableix una comparació de dues quantitats, en termes additius "Tinc 15 anys i la meva germana 3 anys menys" Com en el cas anterior, també es poden determinar 6 subtipus de problemes depenent del tipus de comparació positiva o negativa i segons si es demana la quantitat final, la inicial o la comparació

IV. Composició de transformacions

Problemes en els que dues transformacions es composen i donen com a resultat una tercera, del estat inicial al final "El Pere té una guardiola amb diners. Aquest matí ha tret 18 euros per comprar un llibre. Per la tarda hi va posar 15 euros" La varietat de subtipus que genera aquesta estructura és bastant àmplia, depenent de que l'incògnita sigui: una transformació o la resultant, els signe de les transformacions, l’estat inicial o el final...

V. Transformació sobre estats relatius

Una transformació actua sobre un estat relatiu per donar lloc a un altre estat relatiu "L’Antoni té 13 cromos més que Joan, al Joan li han donat alguns més. Ara en té un més que l’Antoni" Aquí trobem les sis classes del tipus II, amb major número de casos degut al caràcter positiu o negatiu dels estats relatius inicial o final.

VI. Composició de estats relatius

Problemes relatius que es poden composar, no es transforma l’un en l’altre "L’Ignasi té 8 cromos més que Manel i aquets 14 més que Joan. Qui en té més, l’Ignasi o Joan?" Trobem les dues classes corresponents als problemes de tipus I, però amb més subtipus degut als estats relatius (positius o negatiu)

Resultats presentats per Ermel (1993) amb 153 alumnes corresponents al segon curs d’Educació Primària en el sistema educatiu espanyol:– L’éxit és important (prop del 70% ) quan es tracta d’obtenir:El resultat final de una transformació: "El comptador de la fotocopiadora marca 132. La mestra fa 16 fotocòpies. Ara ¿quant marcarà el comptador" / "La Marta té 37 cromos en una caixa. Enganxa 12 en el seu àlbum ¿Quants cromos hi ha a la caixa?"El resultat de composar dues mesures: "En una escola hi ha 68 nenes i 52 nens ¿Quants estudiants hi ha en l’escola?" - El percentatge d'èxits és inferior si es tracta de:Obtenir l’estat inicial d’una transformació: "El Pau juga a l’oca. La seva fitxa està sobre una casella blava. Avança 14 caselles i arriba a una casella vermella marcada amb el 37. ¿Quin era el número de la casella blava?"El valor de la transformació: "La mestra té 42 quaderns en l’armari. El director li dòna una caixa de quaderns. Ara té 67 quaderns en total. ¿Quants quaderns li ha donat el director?"L’avaluació d’una comparació: "El Pere té 38 bales i el Joan 25. El Pere té més bales que el Joan. ¿Quantes més?"

4. Nivells de dificultat