Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones diferenciales lineales de orden 1\[y'+P(x)y=Q(x)\]Resolución: Multiplicar la ecuación por \(e^{\int P(x) dx}\). El primer miembro de la derivada es la derivada de un producto, integrar toda la ecuación. Despejar y.

Ecuaciones diferenciales de variables separables\[y'\cdot g(y)=f(x)\] Resolución: Separamos los términos de \(y\) a un lado del igual y de \(x\) al otro lado. Integramos la igualdad.

Ecuaciones diferenciales homogéneasUna función de dos variales \(f(x,y)\) es homogénea si se cumple que \(f(x,y)=f(tx,ty)\). Una ecuación diferencial \(y'=f(x,y)\) será homgénea si \(f(x,y)\) lo es.Resolución: Comprobar que  \(f(x,y)\) es homgénea. Realizar el cambio de variable \(u(x)=\dfrac {y(x)}{x}\) \(\Rightarrow\) \( \begin{array} y(x)=xu(x)\\y'(x)=u(x)+xu'(x)\\\end{array}\) Agrupar los términos de la ecuación, separando las \(u\) de las \(x\), quedándonos una ecuación de variables separables.

Ecuaciones diferenciales exactasSea \(P(x,y)+Q(x,y)y'=0\) donde \(P\)  y \(Q\) son funciones parcialmente continuas.Diremos que esta EDO es exacta si existe:\(f:D\epsilon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)\(\dfrac {\partial f}{\partial x}(x,y)=P(x,y)\)\(\dfrac {\partial f}{\partial x}(x,y)=Q(x,y)\)Condición necesaria, pero no suficiente salvo que el conjunto sea conexo, para la existencia de \(f(x,y)\): \(\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)Si no se sabe si es conexo suponer que es un conjunto conexo y verificar que la solución obtenida es solución y cumple las condiciones pedidas.Para calcular la solución \(f(x,y)\), dando por hecho que es exacta entonces \( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=P(x,y)\). Entonces:\[\int \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dx=\int P(x,y)dx + C \rightarrow f(x,y)=\int P(x,y)dx+C(y)\ \ \ (*)\]Para calcular \(C(y)\):\[\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)dx \right)+C'(y)\\Q(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)dx \right)+C'(y) \\\int Q(x,y)=\int P(x,y)dx+C'(y)\]Obtenemos C(y) y lo sustituimos en \((*)\). Obteniendo así el valor de f(x,y).La solución será \(f(x,y)=C\).

Ecuaciones diferenciales de orden n

Forma general\[a_ny^{(n)}+a_{n-a}y^{(n-1)}(x)+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x)\]Si \(b(x)=0\) la ecuación es homogénea.Las soluciones generales son la suma de la solución particular de la ecuación completa y la solución general de la ecuación homogénea asociada a la ecuación completa: \[y=y_{PC}+y_{GH}\]

Solucion de EDOs lineales con coeficientes constantes\[a_n(x)...a_o(x)=ctes\]Sea una ecuación de orden 2 homogénea: \(a_2y''+a_1y'+a_0y=0\).Construir el polinomio característico: \(P(x)=a_2x^2+a_1x+a_0\) y resolver \(P(x)=0\).Las soluciones pueden ser: 2 raíces reales y distintas: \(P(x)\rightarrow dos \ soluciones \ \lambda_1, \lambda_2\)Para orden 2:\[y_{GH}=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\]Para orden n:\[y_{GH}=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+C_ne^{\lambda_nx}\] Dos raíces complejas conjugadas: Soluciones de \(P(x) \rightarrow \lambda_1=a+bi, \lambda_2=a-bi\)Para orden 2: \[y_{GH}=C_1e^{ax}cosbx+C_2e^{ax}senbx\]Pra orden n:(por cada par de conjugados, una solución del tipo de la anterior). Raiz real doble (o de multiplicidad n): Orden 2: \[y_{GH}=C_0e^{\lambda x}+C_1xe^{\lambda x}=e^{\lambda x}(C_0+C_1x)\]Orden n: \[y_{GH}=C_0e^{\lambda x}+C_1xe^{\lambda x}=e^{\lambda x}(C_0+C_1x+C_2x^2+C_3x^3+...+C_{n-1}x^{n-1})\]Con soluciones complejas repetidas: \[y_{GH}=e^{ax}cosbx(C_0+C_1x+C_2x^2+...+C_{n-1}x^{n-1})+e^{ax}senbx(C_0+C_1x+C_2x^2+...+C_{n-1}x^{n-1})\]

Cálculo de una solución particular de la completaMétodo de variación de constantes o de Lagrange Resolver la ecuación homogénea asociada. Comprobar si las n soluciones son lineálmente independientes: Sean \(y_1, y_2,..., y_n\) soluciones de la homogénea, y \(a_n, a_{n-1},..., a_0\) funciones o constantes. Entonces:\(y_1, y_2,..., y_n\) son lineal mente independientes sí y solo sí:\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \ldots & y_n \\ y'_1 & y'_2 & \ldots & y'_n \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ y_1^{n-1} & y_2^{n-1} & \ldots & y_n^{n-1} \end{vmatrix} \not= 0\]  Siendo \(y_1, y_2,..., y_n\) soluciones l.i. de la ecuación diferencial \(a_ny^{(n)}+a_{n-a}y^{(n-1)}(x)+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=0\) y \(b\) una función continua en un intervalo \(I\); \(a\) un punto cualquiera de \(I\); \(v_1, v_2, ..., v_n\) las componentes de una función \(V: I \rightarrow R^n\) por medio de la expresión: \[V(x)=\int_a^x b(t) [W(t)]^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} dt\]Entonces la solución particular de la ED completa es:\[y_{PC}=v_1y_1+v_2y_2+...+v_ny_n\] Método de los coeficientes indeterminadosSea g una función definida del tipo \[g(x)=e^{ax}(P_j(x)cos(bx)+Q_k(x)sen(bx)\] donde a y b son constantes y \(P_j\) y \(Q_k\) polinomios de grado j y k respectivamente y sea la ecuación diferencial: \[a_0y^n+a_1y^{n-1}]+...+a_ny=g(x)\]Entonces: Si el numero \(a\pm bi\) no es solución del prolinomio característico de la ec. homogénea asociada: \[y_{PC}=e^{ax} \left( P^*_r(x)cos(bx)+Q^*_r(x)sen(bx) \right)\] donde \(P^*_r\) y \(Q^*_r\) son polinomios de grado menor o igual a \(r=máx \left\lbrace k,j \right\rbrace\). Si el numero \(a\pm bi\) es solución de orden de multiplicidad m del prolinomio característico de la ec. homogénea asociada: \[y_{PC}=x^me^{ax}\left(P^*_r(x)cos(bx)+Q^*_r(x)sen(bx) \right)\]donde \(P^*_r\) y \(Q^*_r\) son polinomios de grado menor o igual a \(r=máx \left\lbrace k,j \right\rbrace\). -

EDO

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n