Matemática Apuntes

Definición de función exponencial Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver t36), por cuanto se cumple que: Representación gráfica de varias funciones exponenciales. Función exponencial, según el valor de la base. Propiedades de las funciones exponenciales Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales: La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:f (0) = a0 = 1. La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:f (1) = a1 = a. La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.f (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?). La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

Definición de función logarítmica Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:loga x = b Û ab = x. Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales). Propiedades de la función logarítmica Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que: La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥). Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R. En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base. La función logarítmica de la base es siempre igual a 1. Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a

FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:f(x) = ax2 + bx + cdonde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.Así,ax2 es el término cuadráticobx es el término linealc es el término independienteCuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Inyectivo Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo f(2) = 4 y f(-2) = 4) Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva. Sobreyectivo (o también "epiyectivo") Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función. Biyectiva Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = yAlternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo f(2)=4 y f(-2)=4)

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