Matemáticas Materia Nº1: Números Reales

Números Naturales (N)

* Conjunto: Un conjunto es una colección de objetos que se define mediante una propiedad que todos los elementos cumplen.* Conjuntos Numéricos: Corresponden a agrupaciones únicamente de números que cumple con algunas propiedades en común.1. Números Naturales (N)El conjunto parte con el número 1 o la unidad, y los otros elementos se forman a partir de la adición sucesiva de unidades de la siguiente manera: 1, 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, etc. Entonces, podemos decir que el conjunto es ordenado y posee infinitos elementos.El conjunto se designa con la letra N y se puede representar sobre la recta numérica como se muestra a continuación:N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., ∞}

Propiedades de los Números Naturales (N)

1.1. Algunas propiedades de los Números Naturales.Giuseppe Peano, matemático italiano, fue el creador del sistema axiomático del cual deriva la aritmética de los Números Naturales.* Axioma: Premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración (afirmaciones evidentes), como punto de partida para demostrar otras fórmulas.* Aritmética: Es una rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: adición, resta, multiplicación y división.* Versión actual de los axiomas de Peano:- 1 es un Número Natural, por lo tanto el conjunto de los Números Naturales no es vacío.- Si a es un Número Natural, entonces el sucesor de a, es decir, a + 1, también es un Número Natural.- 1 no es sucesor de ningún Número Natural, por lo tanto corresponde al primer elemento del conjunto numérico de los naturales.- Si los sucesores de dos Números Naturales a y b son distintos, entonces los Números Naturales a y b son distintos.- Si un conjunto de Números Naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los Números Naturales.

Subconjuntos importantes de los Números Naturales (N)

1.2. Algunos subconjuntos importantes de N.1.2.1. Números Pares.Conjunto ordenado con infinitos elementos que corresponden a los Números Naturales múltiplos de dos.Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ..., ∞}Matemáticamente se puede expresar así:P es un Número Par ⇐ ⇒ P = 2n con n ∈ N* Recuerda que hay una multiplicación entre el 2 y n.* ∈ : Perteneciente a...* N : Número Natural.* n : Significa que pertenece a los Números Naturales.Nota: O sea cualquier Número Natural multiplicado por dos es igual a un Número Par.1.2.2. Números Impares.Conjunto ordenado con infinitos elementos los que corresponden a todos los Números Naturales que no son Pares.Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., ∞}Matemáticamente se puede expresar así:I es un Número Impar ⇐ ⇒ I = 2n + 1 ó I = 2n − 1 con n ∈ NEn base a los dos subconjuntos vistos anteriormente podemos clasificar todo Número Natural en Par o Impar. Al operar con estos números obtenemos las siguientes conclusiones:* Par + Par = ParEsto se debe a que cada Número Par lo podemos expresar de la forma 2n, donde n ∈ N , luego tomamos dos Números Pares arbitrarios y los sumamos:2n + 2m = 2(n + m)Nota: Recuerda que en el caso de la derecha, el 2 al tener un paréntesis, multiplicará cada elemento y luego se suman. Y dará el mismo resultado de la izquierda.Como n + m ∈ N también, se cumple lo propuesto en el enunciado. Por ejemplo: 10 + 22 = 32, donde 32 = 2 · (16)* Impar + Impar = ParAnalizamos de manera completamente análoga a la proposición anterior, tomamos dos Números Impares arbitrarios y luego los sumamos:*Análoga: Significa comparación o relación entre varias cosas, razones o conceptos; comparar o relacionar dos o más seres u objetos a través de la razón; señalando características generales y particulares comunes que permiten justificar la existencia de una propiedad en uno, a partir la existencia de dicha propiedad en los otros.(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2[(n + m) + 1]* Para hacer un Ejemplo reemplazaré el n=4 y el m=3(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2[(n + m) + 1](2*4 + 1) + (2*3 + 1) = 2*4 + 2*3 + 2 = 2[(4 + 3) + 1] (8 + 1) + (6 + 1) = 8 + 6 + 2 = 2[7 + 1] 9 + 7 = 16 = 14 + 2 16 = 16 = 16Nótese que si tomamos cada Número Impar pero ahora de la forma 2n − 1, el resultado es exactamente el mismo.Por ejemplo: 13 + 41 = 54, donde 54 = 2 · (27) * Par + Impar = Impar Tomamos un Número Par e Impar arbitrarios, 2n y 2m + 1, luego sumamos: 2n + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1* Para hacer un Ejemplo reemplazaré el n=4 y el m=32n + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 12*4 + (2*3 + 1) = 2*4 + 2*3 + 1 = 2(4 + 3) + 1 8 + (6 + 1) = 8 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 8 + 7 = 15 = 15 15 = 15 = 15Claramente corresponde a un Número Impar.Por ejemplo: 68 + 9 = 77, donde 77 = 2 · (39) − 1* Par · Par = ParTomamos los Números Pares 2n y 2m, ahora procedemos a multiplicarlos:2n · 2m = 4 n · mEl número 4 es múltiplo de 2, por lo tanto todo Natural de la forma 4n es Par también, y el producto entre dos Números Naturales es al mismo tiempo un Número Natural. Se cumple lo propuesto.Nota: "El Producto de" Significa lo mismo que multiplicar.Por ejemplo: 4 · 14 = 56, donde 56 = 2 · (28)* Impar · Impar = ImparVolvemos a escoger dos Números Impares de manera arbitraria, 2n − 1 y 2m − 1, multiplicamos:(2n − 1)(2m − 1) = 4n · m − 2n − 2m + 1 = 2[2n · m − (n + m)] + 1Acá debe tener en cuenta que siempre se cumple que 2n·m−(n+m) > 0, por lo tanto tal expresión corresponde a un Número Natural.Por ejemplo: 3 · 7 = 21, donde 21 = 2 · (10) + 1*Par · Impar = ParTomamos el par 2n y el impar 2m + 1, multiplicamos ambos:2n · (2m + 1) = 4n · m + 2nNote que el resultado corresponde a la suma de dos Números Pares y ya demostramos anteriormente que tal suma también corresponde a un Número Par.Por ejemplo: 8 · 11 = 88, donde 88 = 2 · (44)

Números Primos

1.2.3. Números Primos.Son todos aquellos Números Naturales mayores que 1, tales que no son exactamente divisibles por algún número, excepto sí mismo y el 1.Por ejemplo el 7 es un Número Primo ya que sólo lo divide perfectamente el 1 y el 7 (7 : 7 = 1 y 7 : 1 = 7) en cambio el 10 no es primo ya que lo divide perfectamente el 1,2,5 y 10 (10 : 1 = 10, 10 : 2 = 5, 10 : 5 = 2 y 10 : 10 = 1)Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ..., ∞}Como podemos notar existen infinitos Números Primos, pero su distribución sigue siendo una incógnita hasta nuestros días.

Números Compuestos

1.2.4. Números Compuestos.El conjunto de los Números Compuestos es infinito y sus elementos son todos aquellos Números Naturales mayores que 1 que no son Primos, es decir, aquellos números que tienen 2 o más factores.*Factor: Son los números que se multiplican para obtener otro número: Ejemplo: 3 y 4 son factores de 12, porque 3x4=12. Este conjunto queda representado por extensión de la siguiente manera:Compuestos = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, ..., ∞}Al igual que con los Números Pares e Impares, todo Número Natural se puede clasificar como Primo o Compuesto, excepto el 1 que no es Primo ni Compuesto.Existe el teorema fundamental de la aritmética que relaciona estos dos últimos subconjuntos de la siguiente manera:Todo Número n Compuesto puede escribirse de manera única, salvo el orden, como un producto de Números Primos.Por ejemplo: 114 = 2 · 3 · 19.Nota: O sea si tenemos un Número Compuesto, al descomponerlo en su mínima expresión me dará siempre la multiplicación de Números Primos; el resultado de estos Números Primos siempre será el Compuesto (pero se le puede cambiar el orden de multiplicación), por eso es de manera "única" porque el resultado siempre será un Número Compuesto, descompuesto por Números Primos.Nota: Los Números Compuestos también pueden tener en su descomposición otros números diferentes a los Primos, como Pares e Impares, pero cuando se intenta llegar a la mínima expresión, siempre se llegará a Números Primos.Nota: No se ponen durante la descomposición sumas ni restas, ni nada, siempre en producto.* Descomponiendo un Número Compuesto:Por ejemplo: 114 = 2 · 3 · 19.

Múltiplos de un Número

1.2.5. Múltiplos de un número.Si tenemos que 24 = 12 · 2 entonces decimos que 24 es Múltiplo de 12 y 2.En general, si a es un Número natural, entonces los Múltiplos de a son todos aquellos números que resultan de la multiplicación de a por algún Natural. El conjunto de los Múltiplos de a es infinito y queda representando como se muestra a continuación:Multiplos de a = { b ∈ N | b = a · n, n ∈ N }Así por ejemplo, la extensión de los Múltiplos de 3 se puede escribir como:Multiplos de 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ..., ∞}* Mínimo Común Múltiplo (m.c.m)El Mínimo Común Múltiplo de un conjunto de Números Naturales es el menor Múltiplo Común distinto de cero de todos esos números.Para obtener el m.c.m. de dos o más números en primer lugar descomponemos cada uno en factores Primos para luego realizar el producto de los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.Ejemplo:Determinar el Mínimo Común Múltiplo entre 12, 14 y 45Primero descomponemos cada número en factores Primos:12 = 2^2 314 = 2 * 745 = 3^2 * 5* ^ : Significa elevado.Luego elegimos los factores primos repetidos y no repetidos con mayor exponente:2^2, 3^2, 5, 7Finalmente el producto de los números anteriores es el m.c.m (12,14,45):m.c.m(12, 14, 45) = 2^2, 3^2, 5, 7 = 1260

Divisores de un Número

1.2.6. Divisores de un número.Si tenemos que 16 = 8 · 2 entonces decimos que 8 y 2 son divisores de 16.Si a es un número natural, entonces los divisores de a son todos aquellos números que lo pueden dividir resultando como cociente un número natural y de resto cero. El conjunto de los divisores de a es finito y queda representando como se muestra a continuación:Divisores de a = {b ∈ N | ∃ n ∈ N tal que a = b · n}Así, por ejemplo, la extensión de los múltiplos de 56 se puede escribir como:Divisores de 56 = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}* Criterios de divisibilidadExisten ciertos criterios para determinar si un número natural es divisible por otro sin la necesidad de realizar la división. A continuación, se exponen los criterios de divisibilidad más comunes en N :

* Máximo común divisor (M.C.D)El máximo común divisor de un conjunto de números naturales es el número más grande que es divisor de todos los elementos del conjunto.Para obtener el M.C.D de dos o más números, en primer lugar descomponemos cada uno en factores primos para luego realizar el producto de los factores comunes elevados a su menor exponente.EjemploDeterminar el máximo común divisor entre 6, 18 y 42Solución: Primero descomponemos cada número en factores primos:6 = 2 · 318 = 2 · 3^242 = 2 · 3 · 7Luego elegimos los factores primos repetidos con menor exponente:2, 3Finalmente el producto de los números anteriores es el M.C.D (6,18,42):M.C.D (6, 18, 42) = 2 · 3 = 6Cuando resulta que el único divisor común entre dos números es el 1, entonces se dicen que son primos relativos o primos entre sí. Por ejemplo 8 y 11 son primos relativos ya que el M.C.D (8, 11) = 1