UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS CARRERA DE ECONOMÍA SEGUNDO: SEMESTRE – 2020 ÁREA CURRICULAR: GERENCIA EN INVERSIONES SIGLA: GI-404 MATERIA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA PARALELO: “C” NIVEL: CUARTO SEMESTRE HORARIOS: Martes 19:00 - 20:30        Viernes 19:00 - 20:30 Docente: Lic. Rufo Yana Tito       La Paz, 11 de agosto de 2020                                Primer día de clases   Reglas de juego para la evaluación 1 Parcial 30 puntos 2 Parcial 25 puntos 3 Parcial 25 puntos Participación en clases y asistencia  10 puntos                               Trabajos prácticos de cada tema 10 puntos Total 100 puntos   TEMA Nº-1   MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Origen de la investigación de operaciones El mundo ha sido testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Este cambio revolucionario fue el gran aumento en la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones, debido a la complejidad y la especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la Investigación de Operaciones (IO), se remonta a muchas décadas, se contribuye a los servicios militares prestados a principios de la Segunda Guerra Mundial. Existía una necesidad urgente de asignar  recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación en la forma más efectiva.     Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que tuvieron gran importancia en el desarrollo de la IO en este periodo. El proceso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles. Se encontraban motivados a buscar resultados importantes para resolver problemas de programación lineal, programación dinámica, línea de espera y teoría de inventarios, se habían desarrollado en 1950.   Un segundo factor que dio un gran ímpetu al desarrollo de este campo fue la revolución de las computadoras. El manejo efectivo de los complejos problemas inherentes a la IO, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO.   1.2 Naturaleza de la investigación de operaciones La investigación de operaciones significa (investigar sobre las operaciones), se aplica a problemas que refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades), se aplicado en manera extensa en áreas tan diversas como manufacturas, transportes, construcción, telecomunicación, finanzas, salud, ejército y servicios públicos.      Introducción a la programación lineal En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles de millones de dólares, en muchas compañías y en distintos países industrializados del mundo. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades, es la aplicación más frecuente, la programación lineal es una herramienta para resolver problemas de optimización. En 1947, G. Dantzig creó un método eficaz, el algoritmo simplex, para resolver problemas de programación lineal. Utiliza un modelo matemático para describir el problema para obtener un resultado óptimo.   Sistema de ecuaciones lineales Se analiza un método para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Una recta en el plano cartesiano (abscisa y ordenada xy), se puede representar algebraicamente mediante una ecuación de la forma. ax1+bx2=c Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que es inconsistente. Si existe al menos una solución, se le denomina consistente.       La paz, 14 de agosto de 2020               Formulación de los problemas de programación lineal Ejercicios La Dumont Company, fabricante de equipos de pruebas, tiene tres departamentos principales para la manufactura de sus modelos S- 1000 y S- 2000. Las capacidades mensuales son las siguientes: Requerimientos unitarios de tiempo (horas)   Modelo S-1000 Modelo S-2000 Horas disponibles en el presente mes Dto. De estructura principal 4,0 2,0 1600 Dto. De alambrado eléctrico 2,5 1,0 1200 Dto. De ensamble 4,5 1,5 1600   La contribución del modelo S-1000 es de 40 dólares por unidad, y la del modelo S- 2000 es de 10 dólares por unidad. Suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de esos productos, debido a condiciones favorables de mercado, determínese la salida óptima para cada modelo, la contribución más alta posible para el presente mes, y el tiempo sobrante en los tres departamentos.   ¿Formular el modelo de programación lineal? ¿Resolver por el método grafico? ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? Solución a) Max Z=40x1+10 x2  s.a.                   4 x1+2 x2≤1600      Ec. 1                          2,5 x1+ x2≤1200      Ec.  2                    4,5 x1+1,5 x2≤1600      Ec.    3                         x1,  x2≥0 Max Z=40x1+10 x2 s.a.            4 x1+2 x2=1600           Ec. 1                     2,5 x1+x2=1200          Ec. 2              4,5 x1+1,5 x2=1600          Ec. 3 1) 4 x1+2 x2=1600          2) 2,5 x1+ x2=1200        3) 4,5 x1+1,5 x2=1600       x1=0 ; x2=800               x1=0 ; x2=1200           x1=0 ; x2=10666,66       x1=400 ; x2=0                    x1=480 ; x2=0           x1=355,55 ; x2=0    A) Max Z=40x1+10x2     Ec -1                   =40(0)+10(800)                   =8000   B) Max Z=40x1+10x2      Ec 1;3                       1600-2x24  = 1600-1,5 x24,5       7200-9x2=6400-24 x2   -3x2=-800 //(-1)   x2=266,67     Ec-1     4 x1+2 x2=1600   4 x1+2(266,67) =1600   x1 =266,66   Max Z=40x1+10 x2   =40(266,66)+10(266,67) =10666,4+2666,7   Z=13333   c)   Max Z=40x1+10 x2     Ec. 3   =40(355,55)+10(0)   =14222           C) Existe 3 puntos extremos en la región factible que A, B y C; el punto C es máximo   2. Una empresa tiene dos procesos para el mezclado de cada uno de sus dos productos, líquido para encender carbón de leña y líquido para encendedores de cigarrillos. La empresa está intentando decidir cuantas horas debe correr cada proceso. En la tabla se presentan los insumos y los resultados de realizar los procesos durante una hora. Supóngase que (x1 y x2) son el número de horas que la compañía decide usar los procesos 1 y 2, respectivamente. Debido a un programa de asignación, las cantidades máximas disponibles de kerosene y benceno son 300 y 450 unidades, respectivamente. Los compromisos de ventas requieren que se produzcan por lo menos 600 unidades del líquido para encender carbón y 225 unidades del líquido para encender de cigarrillo. Las utilidades por hora que se obtienen de los procesos 1 y 2 son 35 dólares y 60 dólares, respectivamente.           Proceso Insumos Producciones Kerosene Benceno Líquido para encender carbón Líquido para encender cigarrillos 1 3 9 15 6 2 12 6 9 24   a) formule este problema como un modelo de programación lineal para la maximización de utilidades. b) encuentre la solución del problema gráficamente. Solución a) 3x1+12x2 ≤300            Ec. 1   x1=100   x2=25   9x1+6x2 ≤450      Ec. 2   x1=150   x2=75     15x1+9x2 ≤600        Ec. 3   x1=4 0   x2=66,67    6x1+24x2 ≤225             Ec. 4   x1=37,5   x2=9,375    Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 1 y Ec. 2 3x1+12x2=300  Ec. 1   9x1+6x2=450      Ec. 2   x1+4x2=100  Ec. 1   3x1+2x2=150      Ec. 2     100-4 x2= 150-2 x23    300-12 x2= 150-2 x2   -12 x2+2 x2=-300+ 150 x2= 15   x1+4x2=100  Ec. 1   x1=100-60    x1=40    Cuando Z = 840   35x1+60x2=840   x1=24   x2=14         2. Un fabricante de muebles  tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricara decorativos. Con anterioridad, se han vendido bien dos modelos de manera que se limitara a producir estos dos. Estima que el modelo I requiere de 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas, los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente.   Método simplex El método simplex es un procedimiento algebraico. Sin embargo, sus conceptos fundamentales son geométricos, transformando un PL con (m) restricciones en la forma estándar si se supone que la forma estándar contiene (n) variables, forma estándar para tal PL, es Max Z= c1 x1 + c2 x2 +……………………….+ cn xn s.a.     a11 x1 + a12 x2 +……….+ a1n xn = b1            a21 x1 + a22 x2 +……….+ a2n xn = b2           ……………..…………………………………           am1 x1 + am2 x2 +……….+ amn xn = bm xi  ≥0  (j=1,2,…….n)   A=a11 a12……a1na11 a12……a2n.           .        ..           .        ..           .        .am1 am2……amn   x=x1x2..xn           b=b1b1..bm Ax=b   Considérese un sistema de (m) ecuaciones lineales con (n) variables (supóngase que n ≥ m)     Geométricos, transformando un PL con (m) restricciones en la forma estándar si se supone qu           La Company debe producir 10000 libras de una mezcla especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes X1, X2, y X3. X1 cuesta 8 dólares la libra, X2  10 dólares la libra, y X3 11 dólares la libra. No pueden usarse más de 3000 libras de X1 y por lo menos deberán usarse 1500 libras de X2,. Además, se requiere por lo menos 2000 libras de X3. ¿formular el problema de programación lineal? ¿resolver por el método grafico? ADF DF   ¿formular el problema de programación lineal? ¿Utilizar el método grafico para encontrar la solución óptima al problema? ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible?       Problemas de programación lineal: Es Variables de decisión Empezamos definiendo las variables de decisión, en cualquier problema de programación lineal, tienen que representar completamente las decisiones que tomar.   Función objetivo En cualquier problema de programación lineal, la  persona que toma la decisión quiere maximizar (ingresos) o minimizar (costos)   Restricciones Se llama las restricciones para el problema de programación lineal, los coeficientes tecnológicos   aumentar. El número al lado derecho de cada restricción, se llama lado derecho de la restricción, lo que representa la cantidad disponible de un recurso.   Restricciones de signo (o de no negatividad) Para completar la formulación de un problema de programación lineal, para cada variable de decisión. Si una variable de decisión xi solamente toma valores no negativos, añadimos la restricción de signo xi ≥ 0.    Ejemplo: Formulación de un modelo de programación lineal  La empresa fabrica dos tipos de juguetes de plástico: se vende un soldado a 27 Bs. = Bs.soldados  Bs.soldados  +( Bs.soldados  ) (tren soldados  )   Solución Variables de decisión Empezamos definiendo las variables de decisión, en cualquier problema de programación lineal, tienen que representar completamente las decisiones que tomar.   Función objetivo En cualquier problema de programación lineal, la  persona que toma la decisión quiere maximizar (ingresos) o minimizar (costos)   Restricciones Se llama las restricciones para el problema de programación lineal, los coeficientes tecnológicos   aumentar. El número al lado derecho de cada restricción, se llama lado derecho de la restricción, lo que representa la cantidad disponible de un recurso.   Restricciones de signo (o de no negatividad) Para completar la formulación de un problema de programación lineal, para cada variable de decisión. Si una variable de decisión xi solamente toma valores no negativos, añadimos la restricción de signo xi ≥ 0.      Definición Una función f(x1, x2,…….…,xn) es una función lineal de x1, x2,…….…,xn si y solo si para algún conjunto de constantes c1, c2,…….…,cn  , f(x1, x2,…….…,xn)= c1x1 + c2x2 +…….…+ cnxn                     Ejercicios: 2x1  + x2 = 8                  b) x1  - x2  =  1                    c) 5x1  - 2x2 = 10 2x1  + x2 = 6                      x1  + x2  =  7                         25x1  - 10x2 = 50   Inciso b) 7x1+5x2=43      Ec. 1 3x1+2x2=18        Ec. 2 Solución: Igualando la ecuación 1 y la ecuación 2 43- 5x27=18- 2x23   3(43-5 x2)=7(18-2x2)   129-15 x2=126-14x2   14x2-15 x2=126-129   x2=3   7x1+5x2=43      Ec. 1   7x1+53=43   7x1=43-15    x1=4     SDFH HHJKH KHIKJLÑJ JLKJOPN               x1 x1 x1     5x1  + 2x2 = 10     5x1  + 2x2 ≤ 10     5x1  + 2x2 ≥ 10 5   5   5   4   a) 4   b) 4   c) 3   3   3   2   2   2   1         1         1         0 1 2 3 4 x2 0 1 2 3 4 x2 0 1 2 3 4 x2   5x1  + 2x2 = 10                  b) 5x1  + 2x2  ≤  10                    c) 5x1  + 2x2 ≥ 10              x1 = 0 ; x2 = 5                                           x1 = 1 ; x2 = 1 (V)                                   x1 = 1 ; x2 = 1 (F)              x1 = 2 ; x2 = 0                          x1 = 2 ; x2 = 2 (F)                     x1 = 3 ; x2 = 2 (V)         HKJG   SDGF S SDGFSDFG S H HKLJK    J  S SDGFSDFG S H HKLJK J  S SDGFSDFG S H HK   LJK J S SDGFSD   FG S H HKLJK J DFG SD     Inciso a) 7x1+5x2=43 3x1+2x2=18 Inciso b) ax1+bx2=c ax1+bx2=c Inciso c) 5x1-2x2=10 25x1-10x2=50        El modelo de programación lineal Ensayo                                                                                                                       hola

Practica Nª1 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL   La Company está tratando de encontrar la mejor manera de utilizar el exceso de capacidad en particular, 20000 horas –hombre. La compañía está considerando dos tipos de llantas: normal y radial. Cada llanta radial ocupa 2,5 horas –hombre y tiene una contribución de $20. Una llanta normal requiere 2 horas – hombre y contribuye con $16. El departamento de comercialización estima que pueden venderse hasta 6000 llantas radiales y 8000 llantas normales.   Formúlese este como un problema de PL. Resolver por el método gráfico. Marque con un círculo los vértices de la gráfica. Para cada solución EFV, identifique sus soluciones FEV adyacentes. ¿Cuántas llantas de cada tipo deben producirse? Cuál es la contribución total.   SOLUCIÓN a) Datos para  la formulación del modelo de PL La company, exceso de capacidad 20000 horas/ hombre Dos tipos de llantas: Normal  x1 = 2 horas/ hombre, $16 Radial   x2 =2,5 horas/ hombre, y tiene una contribución $20 El departamento vende 6000 llantas radiales El departamento vende 8000 llantas normales   Max Z=16x1 + 20x2 2x1 + 2,5x2 ≤ 2000 x1                    ≤ 8000              x2 ≤ 6000       (x1, x2) ≥0       b)   c)   d) SOLUCION FEV SOLUCION FEV ADYACENTE  (0, 0) (0, 6000) y (8000,0)   (0, 6000) (2500, 6000) y (0,0)                  e)   Normal  x1 = 2500 Radial   x2 =6000   f) Max Z=16x1 + 20x1           =16(2500) + 20(6000)           =40000) + 120000           =160000     La Cincinnati Chemical Company debe producir 10000 libras de una mezcla especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes X1, X2, y X3. X1, cuesta 8 dólares la libra, X2, 10 dólares la libra, y X3 11 dólares la libra.  No pueden usarse más de 3000 libras de X1 y por lo menos deberán usarse 1500 libras de X2. Además, se requieren por lo menos 2000 libras de X3. Calcúlese el número de libras de cada  ingrediente que habrá que emplear, a fin de reducir al mínimo el costo total de las 10000 libras. Calcúlese el costo total más bajo posible. ¿Hay libras sobrantes en el problema?     SOLUCIÓN a) Datos Cantidad producida 10000 libras x1 = número de libras de ingrediente 1 x2 = número de libras de ingrediente 2 x3 = número de libras de ingrediente 3 x1 , cuesta 8 dólares  x2 , cuesta 10 dólares x3 , cuesta 11 dólares No pueden usarse más de 3000 libras de x1   Por lo menos deberán usarse 1500 libras de x2 Por lo menos deberán usarse 2000 libras de x3 Función objetivo: Minimizar costo de la dieta Z= 8x1  +10x2  +11x3   Restricciones: x1  +x2  +x3 =10000 Requerimientos para x1, x2  y x3    x1  ≤ 3000 x2 ≥ 1500 x3 ≥ 200   Min Z= 8x1  +10x2  +11x3 s.a. x1  +x2  +x3 =10000 x1               ≤ 3000       x2             ≥ 1500        x3        ≥ 2000   (x1, x2 ,x3 ) ≥ 0 Estandarizando el problema PL Min Z= 8x1  +10x2  +11x3 +0x4 +0x5 +0x6  +M  +M x1  +x2  +x3  +x4  +0    +0  +0   +0 =10000 x1                     +x5   +0    +0   +0 =3000       x2                          -x6  +ax1  +0 = 1500              x3                     -x7  +ax2 = 200   Supongamos que se cuenta con dos alimentos: pan y queso; cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2000 calorías y 50 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso contiene 4000 calorías y 200 gramos de proteínas. Supongamos que un dieta normal requiere cuando menos 6000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamente. Por tanto, si el kilogramo de pan cuesta $6 y $21 el queso, ¿Qué cantidad de pan y queso debemos comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad de dinero? Use el método gráfico para resolver este problema. Marque con un círculo los vértices de la gráfica. Para cada solución FEV, identifique el par de ecuaciones de fronteras de restricción que satisfaga. Para cada solución EFV, identifique sus soluciones FEV adyacentes. Calcule Z para cada solución FEV. Use esta información para identificar la solución óptima.   SOLUCIÓN   Datos 2 alimentos Pan = x1 número de kilogramos Queso = x2 número de kilogramos Un kilogramo de pan contiene 2000 calorías y 50 gramos de proteínas Un kilogramo de queso contiene 4000 calorías y 200 gramos de proteínas Dieta normal requiere cuando menos 6000 calorías 200 gramos de proteínas diariamente Pan cuesta $6 Queso cuesta $21   Min Z= 6x1  +21x2   s.a. 2000x1  +4000x2  ≥ 6000     50x1  +200x2    ≥ 200                 (x1  ,x2) ≥ 0 Min Z= 6x1  +21x2               x1  +2x2  =3         x1  +4x2    = 4   X1= 2 X2= ½ Min Z= 6(2)  +21(1/2)             =12  +10,5   Min Z= 22,5   Considere el siguiente problema. Max Z = 3 x1 + 5 x2 s.a.                                      x1                  ≤ 4                                     2 x2 ≤ 12              3 x1 + 2 x2 ≤ 18                               (x1, x2 ) ≥ 0                                                            Use el método gráfico para resolver este problema. Marque con un círculo los vértices de la gráfica. Para cada solución FEV, identifique el par de ecuaciones de fronteras de restricción que satisfaga. Para cada solución EFV, identifique sus soluciones FEV adyacentes. Calcule Z para cada solución FEV. Use esta información para identificar la solución óptima.   SOLUCIÓN a)       Max Z = 3 x1 + 5x2  + 0x3+ 0x4 + 0x5                                                     x1                  +x3    +0    +0     = 4                                              2 x2    +0    +x4     +0   = 12                         3x1 + 2x2    +0       +0   +x5  = 18                               SIB       x3 =4       x4 =12       x5 =18        4  1   0  1   0   0 -1/3 (6  3   0  0   -1   1)          2  0  0   1  1/3 -1/3                       Cj → 3 5 0 0 0     CB Base b x1 x2 x3 x4 x5   0 X3 4 1 0 1 0 0   0 X4 12 0 2 0 1 0 6   0 X5 18 3 2 0 0 1 9   Z = 0 -3 -5 0 0 0   0 X3 4 1 0 1 0 0 4   5 X2 6 0 1 0 1/2 0   0 X5 6 3 0 0 -1 1 2   Z = 30 -3 0 0 5/2 0   0 X3 2 0 0 1 1/3 -1/3   5 X2 6 0 1 0 ½ 0   3 X1 2 1 0 0 -1/6 0   Z = 36 0 0 0 3/2 1   Max Z = 36          x1 = 2          x2 = 6