Sistemas lineales homogéneos

Nodos de los diagramas

• Sistemas lineales homogéneos

• En un sistema homogéneo, el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada es el mismo, ya que todos los elementos de la última columna de la matriz ampliada son ceros, por lo que no varía el rango de la matriz de los coeficientes: rag A= rag A*=n Los sistemas de ecuaciones cuyos términos son todos ellos de primer grado (en consecuencia, todos los términos independientes son nulos)

• Solución No Trivial Todo sistema homogenéo de ecuaciones lineales A• X = 0, es consistente, ya que x1 = 0, x2 = 0,........,xn = 0 siempre es solución. Esta solución se conoce como "solución trivial"; si existe otras soluciones se dice que son soluciones "no triviales". una solución no trivial es un X ≠ 0 (entiendase 0 como el vector 0 del espacio vectorial; recordemos que todo espacio vectorial tiene un vector 0. Por ejemplo, en Rⁿ es (0, 0, ... 0)). puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solución (la trivial)

• Sea el sistema homogéneo de m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas,  con los términos independientes  b1 = b2 = b3 ... = bn = 0 Estos sistemas se caracterizan porque: Siempre son compatibles (siempre hay solución), pues el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada con la columna de términos independientes (todos ellos CEROS) siempre son iguales.

• Solución Trivial Esta solución se conoce como solución trivial; si existen otras soluciones, se dice que son soluciones triviales. Dado que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales debe ser consistente, se tiene una solución o infinidad de soluciones. Puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una solución no trivial. En cada ejemplo hay que determinar cuál situación tiene caso y describir el conjunto de todas las soluciones En álgebra lineal, cuando tienes un sistema homogéneo: AX = 0Es trivial que una solución posible es X = 0 (por eso lo de solución trivial).

• Algebraa (binary/octet-stream)