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Matemáticas 20

Facultad de CienciasProf. Pedro Alexander Abreu

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Extremos Absolutos de una función

¿Toda función continua posee extremos absolutos?¿Que son extremos absolutos?Definición: Extremos absolutosSea f  una función y c un punto de su dominio. Diremos que f(c) es un mínimo absoluto si f(c)≤f(x)  para todo x en el dominio de f. Diremos que f(c) es un máximo absoluto si f(c)≥f(x)  para todo x en el dominio de f. Diremos que f(c) es un extremos absoluto si es un máximo o un mínimo absoluto.

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Observamos que esta función tiene máximo y mínimo, siendo estos 1 y -1, respectivamente. Alcanzados en π/2 y 3π/2, respectivamente.

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Observamos que esta función tiene un mínimo absoluto, siendo este -3, alcanzado en 2. Pero no Tiene un máximo absoluto.

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Observamos que esta función tiene un máximo absoluto, siendo este 0, alcanzado en 2. Pero no Tiene un mínimo absoluto.

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Observamos que esta función no tiene ni un máximo ni un mínimo absoluto.

Con esto nos podemos dar cuenta que no cualquier función posee máximos y mínimos absolutos.La pregunta que nos surge ahora es: ¿Cuáles funciones tienen máximos y mínimos absolutos?

Aunque esta pregunta no puede ser respondida del todo, el siguiente Teorema nos presenta una gran familia de funciones que poseen máximos y mínimos absolutos.Teorema del extremo absoluto Si f:[a,b]→R es una función continua entonces f tiene máximo y mínimo absoluto.

Bibliografía

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Para indagar mas acerca del tema podemos utilizar el libro de Cálculo Diferencial del autor Jorge Saenz