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Descripción
Fichas por Estefanía Barrionuevo, actualizado hace más de 1 año
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Creado por Estefanía Barrionuevo
hace casi 8 años
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| Pregunta | Respuesta |
| Criterio de Stolz. | Sean \((a_{n})\) y \((b_{n})\) dos sucesiones de números reales tales que \[\underset{n}{lim}\,\frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=l\in\bar{\mathbb{R}}\] Si la sucesión \((b_{n})\) es creciente y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=+\infty\), se tiene también que \[\underset{n}{lim}\,\frac{a_{n}}{b_{n}}=l\] |
| Teorema de Heine Borel. | Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. |
| Teorema de Bolzano-Weierstrass. | Todo conjunto infinito y acotado \(A\subset\mathbb{R}\) tiene, al menos, un punto de acumulación. |
| Teorema de Weierstrass. | Sea \(A\subset\mathbb{R}\) un conjunto compacto y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, \(f\) tiene un mínimo y un máximo en \(A\), es decir, existen \(x_{0},\,x_{1}\in A\) tales que \(f(x_{o})\leq f(x)\leq f(x_{1})\) para todo \(x\in A\). |
| Teorema de los valores intermedios. | Sea \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua y sean \(a,\,b\in I\). Si \(c\) es un número real comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe un punto \(x\) comprendido entre \(a\) y \(b\) tal que \(f(x)=c\). |
| Teorema de Bolzano. | Si \(f\) es una función continua es continua en un intervalo \([a,\,b]\) que toma valores de signo contrario en los extremos de dicho intervalo, existe al menos un \(x\in(a,\,b)\) tal que \(f(x)=0\). |
| Teorema de Rolle. | Sea \(f\) una función continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\) tal que \(f(a)=f(b)\). Entonces existe al menos un \(c\in(a,\,b)\) tal que \(f'(c)=0\). |
| Teorema de Cauchy. | Sean \(f\) y \(g\) dos funciones continuas en \([a,\,b]\) y derivables en \((a,\,b)\). Entonces existe al menos un \(c\in(a,\,b)\) tal que \[[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)\] |
| Teorema del valor medio. | Sea \(f\) una función continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\). Entonces existe al menos un \(c\in(a,\,b)\) tal que \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] |
| Regla de L'hôpital | Sean \(f\) y \(g\) dos funciones con derivadas finitas en \((a,\,b)\), donde \(-\infty\leq a<b\leq+\infty\), y supongamos que \(g'(x)\neq0\) para todo \(x\in(a,\,b)\) y que \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,\frac{f'(x)}{g'(x)}=l\). Entonces, si \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=0=\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)\] o si \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)=+\infty\) se verifica que \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,\frac{f(x)}{g(x)}=l\). |
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