Fatoração

Nota:

• Fatorar, consiste na decomposição de uma expressão, de modo que seja possível facilitar as operações.

1. Casos

   Nota:

   • No estudo da fatoração, é possível identificar vários casos possíveis, sendo eles:
   1. Fator Comum

      Nota:

      • Este caso é usado quando algum elemento é comum a todas a todos os elementos do cálculo.
      • Ex1:  ab + ac = a.(b + c)
      • Ex1: a - b = 7 e a^2b - ab^2 = 210. O valor de ab é: ab (a - b) = 210 ab * 7 = 210 ab = 210/7 ab = 30
   2. Agrupamento

      Nota:

      • É o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum).
      • Ex1:  2xy – 12x + 3by – 18b2x(y – 6) + 3b(y – 6)(2x + 3b)( (y – 6)
      • Ex1:  ac + bc + ad +bd =  c(a + b) + d(a + b) =  (a + b) * (c + d)
      • Ex2: ab + ac - b - c =  a(b + c) -1(b + c) =  (b + c) * (a - 1)  
   3. Diferença de Quadrados

      Nota:

      • Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado
      • Ex1:  (a + b).(a – b) = a² - b²
      • Ex2:  a² - 16 = a² - 4² =  (a + 4) * (a - 4) 
      • Ex3:  81 - m² = 9² - m² =  (9 + m)*(9 - m)
      • Ex4: a² - b² = (a + b)(a - b)
   4. Trinômio Quadrado Perfeito

      Nota:

      • Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse caso, a expressão deverá ser um trinômio(três monômios) e formar um quadrado perfeito.
      • Trinômio: Expressão que contem três incógnitas. Ex: x3 + 2x2 + 2x Quadrado perfeito: A formação de um quadrado utilizando os valores da expressão. Ex: x² +2xy + y², que por sua vez tem o quadrado perfeito: (x + y)²
      • Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características: • Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados. • Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.
   5. Trinômio do tipo x² + Sx + P

      Nota:

      • Neste caso, a expressão precisa ser um trinômio e ser composta por a soma (S) e produto (P).
      • Ex1: m2 + 7m – 8 = (m – 1) (m + 8)
      • Ex2: x2 + 4x – 12 = (x + 6) (x – 2)
   6. Soma de dois cubos

      Nota:

      • Neste caso de fatoração, a expressão precisa ser formada pela soma de dois números ao cubo.
      • A partir da expressão, é utilizado a seguinte formula: (x + y) (x² - xy + y²)
      • Ex1: 27x³ + 1000 (3x + 10) ((3x)² – 3x . 10 + 10²)(3x + 10) (9x² – 30x + 100)
   7. Diferença de dois cubos

      Nota:

      • Neste caso de fatoração, a expressão precisa ser formada pela subtração de dois números ao cubo.
      • A partir da expressão, é utilizado a seguinte formula:(x - y) (x² + xy + y²). 
      • Ex1: 27x3 – y3 (3x – y) ((3x)² + 3x . y + y²) (3x – y) (9x² + 3xy + y²)