ECUACIONES DIFERENCIALES (JGR)

Nota:

• Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva.

1. CLASIFICACIÓN
   1. ORDINARIAS

      Nota:

      • Son aquellas en las que la función incógnita dependen de una sola variable independiente.
      1. NO LINEALES
      2. LINEALES
   2. PARCIALES

      Nota:

      • Son aquellas en la que la función incógnita depende de 2 o mas variables independientes.
      1. NO LINEALES
      2. LINEALES
2. USOS O APLICACIONES
   1. INGENIERIA
      1. CIENCIAS FUNDAMENTALES

         Nota:

         • Física, química,biología y matemáticas.
      2. CIENCIAS APLICADAS
      3. ECONOMIA
3. HISTORIA

   Nota:

   • El nacimiento de la ciencia de ecuaciones diferenciales se fijaría en el 11 de de noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en un papel la ecuación Integral de y diferencial de y igual a la mitad del cuadrado de y 1 . En símbolos de Leibnitz Newton formuló la ley de la gravitación, resolviendo después el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente para probar que la Tierra se mueve alrededor del Sol, describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el Sol.Maxwell concibió una relación entre corriente eléctrica y el campo magnético correspondiente.Las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las teorías de radio, radar, televisión y electricidad general.Las ecuaciones diferencias estocásticas fueron introducidas con un tratamiento riguroso por Kiyoshi Itō y Ruslan Stratonovich durante los años 1940 y 1950.
   1. MATEMATICOS QUE HICIERON APORTES A LA TEORIA
      1. Alexis Clairaut (1713-1765)

         Nota:

         • Hace aportes a la geometría, establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734), astronomía, el problema de los 3 cuerpos, calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa Halley.
      2. Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

         Nota:

         • Alemán, hace aportes en teoría de números, mecánica de fluidos, análisis matemático; estableció condiciones para la convergencia de las series de Fourier.
      3. David Hilbert (1862-1943)

         Nota:

         • Hace aportes al álgebra, ecuaciones integrales, cálculo de variaciones, lógica, espacio de Hilbert, propuso muchos problemas, algunos todavía sin solución.
      4. Oliver Heaviside (1850-1925)

         Nota:

         • Hace aportes al electromagnetismo, sugirió la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera; métodos operacionales no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales.
      5. Pafnuti Chebyshov (1821-1894)

         Nota:

         • Trabaja en teoría de números (números primos), probabilidad, funciones ortogonales, polinomios de Chebyshov.
      6. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

         Nota:

         • Descubre las series de Fourier en las investigaciones sobre el flujo de calor en 1822; acompañó a Napoleón en la campaña de Egipto (1798).
      7. Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846),

         Nota:

         • Alemán, hace aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler.
      8. ENTRE MUCHOS OTROS
4. METODOS DE SOLUCION
   1. SOLUCIÓN GENERAL

      Nota:

      • Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de  ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
   2. SOLUCIÓN PARTICULAR

      Nota:

      • Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
   3. SOLUCIÓN SINGULAR

      Nota:

      • Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.