Matrices.

1. Definición.

   Nota:

   • Matriz de tamaño o dimensión mxn es una tabla de números reales ordenados que consta de m filas y n columnas. 
2. Elementos.

   Nota:

   • Los números se llaman elementos. 

1. Matriz fila.

   Nota:

   • Es una matriz que solo tiene una fila. 
2. Matriz columna.

   Nota:

   • Es una matriz que solo tiene una columna. 
3. Matriz cuadrada.

   Nota:

   • Es una matriz que tiene el mismo número de filas y de columnas (m=n). 
4. Matriz nula.

   Nota:

   • Matriz cuyos elementos son todos ceros. 
5. Matriz diagonal.

   Nota:

   • Matriz cuadrada cuyos elementos son todos ceros, excepto los de la diagonal principal. 
6. Matriz escalar.

   Nota:

   • Matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales y distintos de cero. 
7. Matriz unidad o Identidad.

   Nota:

   • Es una matriz igual que la escalar donde los elementos de la diagonal principal son unos.  Esta matriz se representa con: I. 
8. Matriz triangular.

   Nota:

   • Matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos.
9. Matriz simétrica.

   Nota:

   • Matriz cuadrada que cumple:  Aij=Aji

Nota:

• Para definir la suma de dos matrices, deben tener la misma dimensión. 

1. Propiedades.
   1. Asociativa.

      Nota:

      • A+(B+C)=(A+B)+C
   2. Conmutativa.

      Nota:

      • A+B=B+A
   3. Hay elemento neutro.

      Nota:

      • Esto quiere decir que hay matriz nula (algo que operado con cualquier matriz da el mismo resultado). 
   4. Toda matriz A tiene su opuesta -A.

      Nota:

      • Se cumple que A + (-A)= N
   5. Una matriz cuadrada + su traspuesta = matriz simétrica.

1. Propiedades.
   1. Es distributiva respecto a la suma de matrices.

      Nota:

      • Ejemplo:  X·(A+B) = X·A + X·B
   2. Es distributiva respecto a la suma de número.

      Nota:

      • Ejemplo: (x+y)·A = (x·y)·A
   3. Es asociativa.

      Nota:

      • Ejemplo: x·(y·A) = (x·y)·A
   4. Tiene un elemento unidad.

      Nota:

      • 1 ∈ R      1·A=A con cualquier matriz A. 

1. Propiedades.
   1. (A · B) = B^t · A^t
   2. (A + B^t= A^t + B^t
   3. (X · A)^t = X · A^t

Nota:

• Ejemplo: A^2= A·A

Nota:

• A · A^(-1) = A^(-1) · A = I A^(-1) = Inversa de A. 

1. Propiedades.
   1. (A^-1)^-1 = A
   2. (A · B)^-1 = B^-1 · A^-1
   3. (A^t)^-1 = (A^-1)^t

1. Método directo.
2. Método de Gauss- Jordan.

1. Definición.

   Nota:

   • Una combinación lineal es el resultado de multiplicar cada fila o cada columna por un número y después sumarlas. 
2. Linealmente dependientes (LD).

   Nota:

   • Varias filas o columnas son linealmente dependientes (LD) cuando alguna de ellas se puede poner como combinación lineal (CL) de las otras. 
3. Linealmente independientes (LI).

   Nota:

   • Varias filas o columnas son linealmente independientes (LI) cuando ninguna de ellas se puede poner como combinación lineal (CL) de las otras. 

1. Teorema del Rango.

   Nota:

   • En una matriz, el número de filas linealmente independientes siempre coincide con el número de columnas linealmente independientes.  El rango de una matriz es el máximo número de filas o de columnas linealmente independientes.  Este máximo número es llamado rango de A, que se expresa como Rg(A). 

1. Definición.

   Nota:

   • Este método consiste en convertir el rango de una matriz en una matriz escalonada (triangular) equivalente mediante el método de Gauss. 
2. Observación teórica.

   Nota:

   • Una matriz es regular si su rango es máximo. En otro caso, es singular. 
   1. Matriz regular.

      Nota:

      • Una matriz es regular si tiene matriz inversa. 
   2. Matriz singular.

      Nota:

      • Una matriz es singular si no tiene matriz inversa.