Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

1. Tabla numérica de m filas y n columnas
   2. Tipos de matrices
      1. Por su forma
         1. Matriz fila
         2. Matriz columna
         3. Matriz cuadrada
            1. Tiene igual número de filas que de columna
         4. Matriz transpuesta
            1. La matriz que se obtiene cambiando las filas por columnas
         5. Matriz simétrica
            1. Cumple que es igual a su traspuesta A=At
         6. Matriz antisimétrica
            1. Es antisimétrica si At = −A
      2. Por sus elementos
         1. Matriz nula
            1. Todos sus elementos son 0
         2. Matriz diagonal
            1. todos sus elementos nulos salvo la diagonal principal.
         3. Matriz escalar
            1. Matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales
         4. Matriz identidad
            1. Matriz escalar con los elementos de la diagonal igual a 1.
         5. Matriz triangular superior y inferior
            1. Matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal son nulos
   3. Operaciones con Matrices
      1. Suma y diferencia de matrices
         1. Se suman elementos a elementos
      2. Producto de matrices por un numero
         1. Es producto de una matriz A por un numero = matriz B
      3. Producto de 2 matrices
         1. Se puede multiplicar si las columnas de la primera matriz son igual a las filas de la segunda matriz
      4. Matriz inversa
         1. Solo hay para matrices cuadradas , A B = B A = Idn
   4. Rango de una matriz
      1. número de filas (o de columnas) linealmente independientes. El rango de A se denotará por rg(A)
         1. Cálculo del rango por Gauss
            1. Regla 1. Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero. Regla 2. Sumar o restar una fila (o columna) a otra.

1. Se puede escribir en la siguiente forma matricial
   1. AX = B;
      1. donde:
         1. A = matriz asociada al sistema
         2. B = términos independientes
         3. X =formada por las incógnitas.

1. son equivalentes
   1. tienen las mismas soluciones.
2. Transformaciones de Gauss
   1. regla práctica:
      1. conviene eliminar las ecuaciones dependientes, como:
         1. Ecuaciones nulas
         2. Ecuaciones iguales
         3. Ecuaciones proporcionales
   2. Método de Gauss
      1. Dado la matriz ampliada de un sistema
         2. pretendemos obtener una matriz triangular superior
            2. Pueden ocurrir tres casos
               1. Sistema compatible determinado
               2. Sistema compatible indeterminado
               3. Sistema incompatible

1. es compatible si, y sólo si
   1. el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada
      1. 1. En un sistema con n incógnitas, se tiene que:

1. Se puede realizar por el método de Cramer si
   1. Tiene el mismo numero de incognitas que el de ecuaciones.
   2. El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.
2. Un sistema de Cramer es por definición compatible determinado
   1. rg(A) = rg(A*) = n.
   2. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante asociado a dicha incógnita por el determinante del sistema

Nota:

• La determinante de una matriz, se podrá calcular, siempre y cuando el orden de la matriz sea (NxN) es decir una matriz cuadrada.

1. Escalar representativo
2. Denotado por |A| o det(A)
3. Tipos de DETERMINANTES
   1. DET. de orden 2
      1. A partir de una MATRIZ A
      2. Se llama det(A) al número real que:
   2. DET. de orden 3
      1. 1. En matrices de orden 3x3
            1. REGLA DE SARRUS
               1. Agregar dos filas, debajo de la matriz original
               2. Agregar dos columnas, a la derecha de la matriz original
      2. A partir de una MATRIZ A
   3. DET. de orden N
      1. MENOR COMPLEMENTARIO
         1. En una matriz dada, el menor complementario, es la determinante de la matriz cuadrada que se obtiene al reducir la fila y columna de dicha elemento (Aij), y tomando los elementos sobrantes para armar la nueva matriz cuadrada de orden N-1.
      2. ADJUNTO
         1. El adjunto de un elemento a_ij de una matriz A_mxn (Número Real). Se define mediante
            1. ∆ij : = (−1)^(i+j) · Mij
            2. MATRIZ DE COFACTORES
      3. DET. por recurrencia
         1. El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna multiplicadas por sus adjuntos correspondientes

            Nota:

            • Se puede aplicar a la i-ésima fila o j-ésima columna.
            1. |A| = ai1 · ∆i1 + ai2 · ∆i2 + · · · + ain · ∆in
      4. Calcular Rango mediante DETERMINANTES
         1. Si al suprimir una matriz(A), tenemos una nueva matriz Aij, esta es "sub-matriz" de A. Puede que A no sea una matriz cuadrada, pero contiene varias sub-matrices que si lo son. Por lo tanto, es factible calcular su determinante
            1. Existe una sub-matriz S de A de orden k con |S| 6= 0
            2. dada A ∈ Mn,tenemos que rg(A) = n ⇐⇒ |A| 6= 0
      5. Calcular Matriz Inversa mediante DETERMINANTES
         1. Una Matriz tiene su Inversa solamente si su determinante es diferente de CERO.
            1. 1. Tendremos que comprobar si el determinante de la matriz es diferente de cero. En caso de no serlo, la matriz no tiene inversa
            2. 2. En caso de tenerla, calculamos la matriz adjunta, que se obtiene al reemplazar cada elemento por su respectivo adjunto, con respecto a la matriz de COFACTORES.
            3. 3. Después de haber calculado la matriz adjunta, calcularemos la matriz Transpuesta (A^t) de la adjunta, con respecto a la matriz original. es decir adj(A)^t
            4. 4.Por último calculamos, la inversa que sería igual al producto entre la matriz final obtenida (adj(A)^t) por 1/2.
4. PROPIEDADES
   1. det(A) = det(A^t) para todo A ∈ [M_n]
      1. Si dos filas o columnas son proporcionales, la determinante será CERO.
         1. det(F1, α F1, F3) = 0.
      2. Si se tiene la determinante del producto entre dos matrices, esto será igual al producto de cada determinante de dichas matrices.
         1. det(A · B) = det(A) · det(B)
   2. Si la matriz posee una Fila o Columna de CEROS (0). La determinante es CERO.
      1. Si tengo dos sumandos entre las filas o columnas de una matriz, la determinante será la suma de las dos determinantes, de cada sumando por cada fila o columna de la matriz.
         1. det(F1 + F1´, F2, F3) = det(F1, F2, F3) + det(F1´ , F2, F3)
      2. Si se multiplica a las filas y columnas de una matriz por un escalar, la determinante será igual producto entre el escalar por la determinante de la matriz
         1. det(α F1, F2, F3) = α det(F1, F2, F3)
      3. Si la matriz tiene dos fila o dos columnas iguales, la determinante es CERO.
         1. det(F1, F1, F3) = 0
   3. Al permutarse 2 filas o columnas, la determinante cambia de signo.
      1. det(F1, F2, F3) = − det(F2, F1, F3)
      2. Si a una fila o columna le sumamos una combinación lineal de dicha fila o columna, la determinante no varía.
         1. det(F1 + α F2 + β F3, F2, F3) = det(F1, F2, F3)
      3. Si una fila o columna es una combinación lineal de dicha fila o columna, la determinante será CERO.
         1. det(F1, F2, α F1 + β F2) = 0