Límites y continuidad de una función.

Nota:

• El limite de una función en un punto dado, es el valor al que se va aproximando esa función cuando la variable x tiende a un determinado punto, pero sin llegar a ese punto.

Nota:

• f ( x ) = L x->0

Nota:

• Teoremas básicos: 1.- Límites unilaterales 2.- Límites bilaterales 3.- Límites al infinito 4.- Límites infinitos

1. Teoremas básicos para su determinación
   1. Límites unilaterales
      1. Teorema 1.- Si un límite existe, entonces es único
      2. Teorema 2.- Si c es una constante, entonces Lim c = c x-> a
      3. Teorema 3.- Lim x = a x-> a
      4. Teorema 8.- Si c es una constante: Lim [f(x)n= Ln x->a
      5. Teorema 4.- Lim [f(x) +- g(x)]= L+- M x->a
      6. Teorema 5.- Lim [f(x) * g(x)]= L* M x->a
      7. Teorema 6.- Lim[f(x) / g(x)] = L / M x->a
      8. Teorema 7.- Lim cf(x) = cL x->a
      9. Teorema 9.- Lim p(x)=p(a) x->a
      10. Teorema 10.- Lim '/ f/x) = '/ L para L<=0 x->a
      11. Teorema 11.- Lim '/ f(x) = n'/ L para n entero positivo
   2. Límites bilaterales

      Nota:

      • Son de tres tipos: 1.- Límites por la derecha 2.- Límites por la izquierda 3.- Teorema 12
      1. 1.- Límite por la derecha; Lim f(x) = L x->a+
      2. Límite por la izquierda: Lim f(x)=L x->a-
      3. Teorema 12.- Lim f(x) = Lim f(x) = L x->a+ x->a-
   3. Límites al infinito

      Nota:

      • Hay 4 casos posibles:
      1. Lim f(x) = a y Lim f(x) = -a
      2. Lim f(x) = a y Lim f(x) = a
      3. Lim f(x) = -a y Lim f(x) = a
      4. Lim f(x) = -a y Lim f(x) = -a
      5. Lim f(x) = -a y Lim f(x) = a
      6. Lim f(x) = -a y Lim f(x) = -a
   4. Límites infinitos
      1. Lim f(x) = L a-> a
      2. Lim f(x) = L a-> -a
      3. Lim f(x) cuando x tiende a potenciada al infinito es igual a L
      4. Lim f(x) cuando x tiende a potenciada a menos infinito es igual a L

1. Una función es continua cuando satisface 3 condiciones: 1. f(a) existe 2.-El Lim f(x) existe X->a 3.- Lim f(x) = f(a)

Nota:

• Es discontinua en a cuando no se satisface alguna de las condiciones.

1. 1. cuando no existe f(a), la función es discontinua en a
2. Si no existe el Lim f(x) cuando x tiende a a, se llama discontinuidad esencial
3. Si el Lim f(x) = f(a) cuando x tiende a a se le llama continuidad removible cuando puede redefinirse a a y cuando no se puede redefinir será una discontinuidad esencial