Modelos continuos de crecimiento: Del modelo exponencial al modelo logístico.

Modelo de Malthus
1. Está basado en una EDO:
  1. Ampliamente utilizada en las matemáticas universitarias y economía.
  2. Como su EDO es de primer orden lineal homogénea (con coeficientes constantes), su formulación es dada por medio de un problema de valor inicial PVI.
    1. La EDO indica que la variación instantánea de la población en el instante t , dada por p'(t) , es directamente proporcional (siendo α la constante proporcionalidad) a la población p(t) que hay en ese momento.
      1. La idea básica de esta propuesta de modelización es que, cuanto mayor es el número de individuos, i.e., mayor es p(t) , mayor es la variación (dada por p'(t) ) que puede sufrir la población.
        Esta afirmación requiere de diversos factores;
        Como primera instancia, la variación poblacional puede ser creciente o decreciente, esto dependerá de la diferencia entre el número de individuos que nacen y mueren.
        Si aislamos α, se entenderá el rol que desempeña en el modelo, así como la denominación anterior de constante de crecimiento relativo.
        Observe que α = p'(t) / p(t). Como el denominador de la fracción siempre es positivo (por representar una población), el signo de α está determinado por el signo de p'(t):
        Al considerarse un instante arbitrario "t" y un intervalo de longitud Δt; se determina como [t,t+Δt], al denotarse por "p" queda p(t+Δt), y Δp(t)=p(t+Δt)-p(t).
        La función se aplica como si fueran masas, esto considerando las variaciones como la emigración y inmigración.
        También es aplicable para las tasas de nacimiento, ya que tienen lugar en el intervalo [t,t+Δt]. Esta relación contiene el signo "α", pudiendo ser positivo.
        Cálculo del modelo para la solución p(t):
        Se distinguen varios casos, todo en función de "α" :
        Si α > 0; esto será p(t) > 0, lo que nos representa que p(t) es la población teniendo un crecimiento rápido o convexo.
        Si α < 0, esto se vería como p(t) < 0, lo que nos indica que lógicamente es decreciente; y que cuando la tasa es ">" aumenta y "<" disminuye.
        Para calcular la solución de p(t), y estudiar a partir de esta; será necesario tomar una serie de coeficientes dados por la primera ecuación; lo que permite hallar la ecuación:
        Esto ayuda a obtener la dinámica del tipo de interés:
        Al completar la ecuación, se hace visible; además, además de que corrobora las conclusiones que se hayan recolectado anteriormente.
        Al deducir la cuarta ecuación, se muestra que;
        Cuando "α ≠ 0"; la población crecerá de manera exponencial; por lo tanto, si α < 0, en un gran largo plazo, se ocasionará una extinción total.
        En la figura 2, se expresa gráficamente el comportamiento de la solución para valores específicos
        Si "α = 0"; se notará en la ecuación como si la población entrara a un estado de equilibrio, siendo el valor de p(t) inicial.
        En la figura 2, se expresa gráficamente el comportamiento de la solución para valores específicos de los parámetros:
        Aplicación del modelo: Calibración de parámetros.
        En este apartado se aplicará el modelo de crecimiento exponencial para modelizar el Índice de Precios al Consumo (IPC) durante un cierto período.
        Los datos han sido extraídos del Instituto Nacional de Estadística (INE) y corresponden al período febrero de 2010 hasta enero de 2011 con base 2011.
        Se busca determinar los valores de los parámetros, por lo que se procede a reducir la calibración de "α". El objetivo es determinar α ≠ 0 de modo que p(t) se ajuste lo mejor posible.
        Se comienza con la primera fecha: p0=106.484, sin perdidas; por lo que "t" corresponde a 0. Para "ajustarla lo mejor posible", se hace uso de la tercera ecuación, aplicando una de las diferencias de cuadrados, por lo que se puede observar p1, 0 ≤ i ≤ 11.
        Esto se utiliza para cada uno de los 12 valores mensuales de IPC dados en la tabla; por lo tanto i = 0 es el mes de febrero, i = 1 corresponde a marzo, y sucesivamente hasta i = 11 que es enero 2011.
        Debido a que el valor de i = 0 es nulo, el valor p(t) en t0 dado en la primera ecuación, coincide con el primer valor del IPC, estaría expresado como:
        Empleando técnicas apropiadas de optimización numérica de funciones, podemos calcular el valor del parámetro α que minimiza la función de error e(α) dada en la séptima ecuación.
        Este tipo de técnicas están en diferentes programas. Utilizando el comando NMinimize del software Mathematica®, el valor que se obtiene es: αˆ= 0.0446935, el cual proporciona el siguiente valor del error: e(αˆ) = 4.24488 .E
        Por lo tanto, y de acuerdo al modelo y a su ajuste a los datos, la cuarta ecuación indica la fórmula de ajuste buscada.
        Con la octava ecuación, se pueden hacer predicciones del costo de un producto en cualquier año solicitado:
        Introduciendo la migración en el modelo.
        Asumiendo que las inmigraciones y emigraciones son constantes, denotándolas con "e" y con "i", nos conduce a la relación en la décima ecuación, y se puede observar la diferencia respecto al análisis hecho en la segunda ecuación.
        Es conveniente destacar (con respecto al análisis realizado en la segunda ecuación), que los movimientos migratorios de emigración se asumen proporcionales a la población p(t) existente en el instante t , mientras que los flujos de inmigración son independientes.
        Del modelo exponencial de Malthus, al modelo logístico de Verhuls:
        Anteriormente se hablaba que α, cuando era positivo, presentaba un crecimiento ilimitado. Esto no es verosímil, puesto que ninguna población puede crecer de manera ilimitada.
        El comportamiento grafico de esta ecuación sería asintótico e incondicionalmente estable.
        ¡FIN DEL MAPA MENTAL!
        El matemático belga Pierre François Verhulst, años después de Malthus, introduciría un término de "freno no lineal" −γ(p(t))^2, siendo γ>0, y probó que el nuevo modelo explicaba excelentemente la evolución de numerosas poblaciones; además de que no se extinguía a largo plazo.
        La solución del modelo exponencial con migración se realiza de nuevo identificando los coeficientes del modelo obtenido: p'(t) = αp(t) +β , con los del modelo general dado en la tercera ecuación; a = α y b = β .
        Por lo tanto, y de acuerdo al modelo y a su ajuste a los datos, la cuarta ecuación indica la fórmula de ajuste buscada.
        La constante α , que puede ser tanto positiva como negativa, determina el crecimiento o decrecimiento poblacional.
        Gráfico: Pirámides de población. Colombia, 1970, 2000 y 2020. Fuente: Elaboración GES, con base en información de https://www.populationpyramid.net/colombia
2. Se conoce mayormente por su uso para establecer el balance de flujo de las poblaciones determinantes que generan variaciones en la población.
  1. Gráfica: Flujo de migración poblacional internacional.
3. Propuesto por el economista y demógrafo Thomas R. Malthus en el siglo XIX.
Universidad ECCI. Asignatura: Cálculo Diferencial (2BMS). Docente: Diana Poveda. Fecha de entrega: /Agosto/2022.
Integrantes del grupo: José Alejandro Rodríguez Rozo (Cód:118348). Cristian Camilo Rozo Callejas (Cód:122062). William Fernando Romero Morales (Cód:120318). Sebastian Rodríguez (Cód:000000). Mayra Alejandra Murillo Gavidia (Cód:000000). Julián Esteban Ñungo Palacios (Cód:000000).

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