ESPACIO VECTORIAL Y SUB ESPACIO VECTORIAL

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enfoque espacio vectoriales
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Resumen del Recurso

ESPACIO VECTORIAL Y SUB ESPACIO VECTORIAL
      1. SUB ESPACIO VECTORIAL
        1. Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
          1. Teorema de sub espacio Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H. ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α. Es obvio que si H es un espacio vectorial,
            1. PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL 1). El vector cero de V está en H.2 2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H. 3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
              1. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
                1. Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
                  1. Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m, • un conjunto de más de m vectores nunca puede ser linealmente independiente. • un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema generador.
        2. ESPACIO VECTORIAL
          1. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación. Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.
            1. 1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V …. 2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V
              1. 3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V ……………. 4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v) = 0
                1. 5. Propiedad distributiva I: a • (u + v) = a • u + a • v, ∀ a ∈ R, ∀ u, v ∈ V ….. 6. Propiedad distributiva II: (a + b) • v = a • v + b • v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V
                  1. 7. Propiedad asociativa (•): a • (b • v) = (ab) • v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V ……………….. 8. Elemento unidad: 1 • v = v, ∀ v ∈ V
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