Lineární algebra II

Nota:

• Zobrazení V^2 -> R 1) <x,x> <= 0 2 3) linearita v 1. složce 4) symetrie
• komplexní: 1-3) jako reálný 4) <x, y> = kompl. sruž. <y, x>

1. Norma indukovaná skalárním součinem
   1. Norma
      1. p - norma
      2. Metrika
   2. Tvrzení: je normou
   3. Rovnoběžníkové pravidlo
2. Ortogonalita
   1. Pythagorova věta
   2. Ortogonální systém
      1. Věta o LNZ
      2. Fourierovy koeficienty
         1. Tvrzení

            Nota:

            • <x, y> = suma(<x, zj><y, zj>kompl. sruž.)
      3. Gram-Schmidtova ortogonalizace
         1. Důsledky: bázi lze (rozšířit a) ortogonalizovat
      4. Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost
      5. Ortonormální báze
         1. 3 podmínky
   3. Ortogonální doplněk
      1. Věta o vlastnostech
      2. Věta o vlastnostech o. doplňku podprostoru
      3. Ortogonální doplněk v R^n

         Nota:

         • doplněk R(A) = Ker(A)
         1. 3 důsledky

            Nota:

            • (1) Ker(ATA) = Ker(A), (2) R(ATA) = R(A), (3) rank(ATA) = rank(A).
   4. Ortogonální projekce
      1. Věta
      2. Projekce do sloupcového prostoru
      3. Projekce do ortogonálního doplňku
      4. Metoda nejmenších čtverců
   5. Ortogonální matice
      1. NPJE
      2. Součin
      3. Hauseholderova matice

         Nota:

         • otočení vektoru kolem přímky (2*(aaT/aTa)-I)
      4. Věta o vlastnostech
      5. Věta o ortogon. matici LZ
3. Cauchy-Schwarzova nerovnost
4. Trojúhelníková nerovnost

Nota:

• det(A) = suma p z Sn(sgn(p)*soucin (a i, p(i)))

1. det(A) = det(AT)
2. Řádková linearita
   1. důsledek
3. Vliv řádkových operací
4. Determinant regulární matice
5. Determinant součinu
   1. důsledek
6. Laplaceův rozvoj
7. Cramerovo pravidlo
8. Objem rovnoběžnostěnu
9. Adjungovaná matice

Nota:

• Ax = lambda x

1. Charakterizace vl. čísel a vektorů
2. Věta o vlastnostech
3. Algebraická a geometrická násobnost
4. Spektrum matice

   Nota:

   • množina vlastních čísel (bez násobností) spektrální poloměr = max. abs. hodnota z vl. čísel
5. Vlastní čísla a det, trace
6. Věta o komplex. sdruž. vlastních číslech
7. Matice společnice
   1. Věta o vlastních číslech
8. Charakteristický polynom
   1. Věta o koř. charakt. polynomu
   2. Cayleyho - Hamitonova věta

      Nota:

      • Matice je sama koženem svého charakteristického polynomu
9. Věta o vlastních číslech podobných matic
   1. Podobnost

      Nota:

      • A, B jsou podobné, když A = SBS-1
      1. Diagonalizovatelnost
         1. Diagonalizovatelná matice má bázi z vl. vektorů
         2. Mocnění matice
         3. Spektrální rozklad symetrické matice
            1. Courant - Fischer

               Nota:

               • Největší a nejmenší vlastní číslo symetrické matice je max/min (xTAx)
10. Vektory různých vl. čísel jsou LNZ
11. AB a BA mají stejná vl. č.
12. Jordanova normální forma
    1. Jordanova buňka
    2. Věta
    3. Tvrzení o počtu buněk
13. Vlastní čísla hermitovské matice
14. Výpočet vlastních čísel
    1. Gerschgorinovy disky
    2. Mocninná metoda

1. Positivní semidefinitnost
   1. Odmocnina z matice
2. Vlastnosti positivně definitních matic
3. Ekvivalentní podmínky
4. Testování pos. definitnosti
   1. Choleského rozklad
   2. Rekurentní vztah
   3. upravená GE
   4. Sylvestrovo kritérium
5. Skalární součin a positivní definitnost

1. Bilineární forma
   1. Matice
      1. Věta + důsledky
      2. Věta o matici při změně báze
2. Kvadratická forma
   1. Sylvestrův zákon setrvačnosti
      1. Signatura matice
      2. 2 důsledky